Sannsynlighet med fem terninger

a) \(\underline{\underline{P(\text{minst to like}) = \dfrac{7056}{7776} \approx 0{,}9074}}\)
b) \(\underline{\underline{P(X > 20) = \dfrac{1722}{7776} \approx 0{,}2215}}\)
c) \(\underline{\underline{k = 14}}\)

a

Det er lettere å beregne komplementet — sannsynligheten for at alle fem terningene viser forskjellig antall øyne — og trekke fra 1.

Siden en terning har 6 mulige utfall og vi kaster 5 terninger, er det totale antallet utfall

Antall utfall der alle fem terningene er forskjellige: første terning kan vise hva som helst (6 muligheter), andre terning må vise noe annet enn første (5 muligheter), tredje noe annet enn de to første (4 muligheter), og så videre:

Sannsynligheten for at alle er forskjellige:

Sannsynligheten for at minst to er like:

b

Vi bruker programmering til å telle alle mulige utfall av fem terningkast og finne andelen der summen er større enn 20.

from itertools import product

# Generer alle mulige utfall av fem terninger (6^5 = 7776 utfall)
utfall = list(product(range(1, 7), repeat=5))

# b) Tell antall utfall der summen er større enn 20
antall = sum(1 for u in utfall if sum(u) > 20)
print(antall / len(utfall))   # ≈ 0,2215

Programmet gir \(\dfrac{1722}{7776}\), så

c

Vi søker den største verdien av \(k\) slik at \(P(X \geq k) > 0{,}8\).

from itertools import product

utfall = list(product(range(1, 7), repeat=5))

# c) Finn største k slik at P(X >= k) > 0,8
for k in range(30, 4, -1):
    p = sum(1 for u in utfall if sum(u) >= k) / len(utfall)
    if p > 0.8:
        print(k)   # 14
        break

Programmet gir \(k = 14\). Vi kan kontrollere verdiene rundt:

\(P(X \geq 14) \approx 0{,}8480 > 0{,}8\), men \(P(X \geq 15) \approx 0{,}7785 < 0{,}8\).

Den største verdien av \(k\) er \(\underline{\underline{k = 14}}\).