Optimering av rektangelareal og program
En elev har fått følgende oppgave:
Funksjonen \(f\) er gitt ved
Et rektangel \(R\) har hjørner i \((0, 0)\), \((t, 0)\), \((t, f(t))\) og \((0, f(t))\).
Bestem den verdien av \(t\) som gjør at \(R\) har størst areal.
For å løse oppgaven har eleven laget følgende program:
def A(x):
return x*(x**2-9)**4
t = 0
d = 0.01
while A(t) < A(t+d):
t = t + d
print(t)
- Forklar strategien eleven har brukt for å løse oppgaven.
- Løs oppgaven eleven har fått.
a) Algoritmen starter ved \(t = 0\) og klatrer oppover ved å øke \(t\) med \(d = 0{,}01\) så lenge arealet vokser. Når arealet begynner å avta, stoppes løkken — og \(t\) er (omtrentlig) ved maksimumspunktet.
b) \(t = 1\), største areal \(= \mathbf{4096}\)
a
Programmet bruker en numerisk søkealgoritme som leter etter maksimum ved å «klatre oppover bakken»:
- Eleven starter ved \(t = 0\) og øker \(t\) med \(d = 0{,}01\) i hvert steg.
- Betingelsen
A(t) < A(t+d)sjekker om arealet fortsatt vokser. Så lenge neste skritt gir større areal, fortsetter løkken. - Når
A(t) >= A(t+d)er det neste skrittet enten like stort eller mindre — arealet har nådd toppen og begynner å avta. Løkken stopper. - Den siste \(t\)-verdien er da en tilnærming til det \(t\) som gir størst areal.
Strategien forutsetter at arealet har akkurat ett maksimum på intervallet \((0, 3)\), og at startpunktet \(t = 0\) er til venstre for maksimumspunktet.
b
Arealet til rektangelet er
Vi deriverer \(A(t)\) med produktregelen og kjerneregelen:
Vi setter \(A'(t) = 0\):
Fortegnsanalyse av \(A'(t)\) på \(\langle 0, 3 \rangle\):
For \(t \in \langle 0, 1 \rangle\): \(\quad t^2 - 9 < 0\), så \((t^2-9)^3 < 0\). Og \(t^2-1 < 0\).
For \(t \in \langle 1, 3 \rangle\): \(\quad t^2 - 9 < 0\), så \((t^2-9)^3 < 0\). Og \(t^2-1 > 0\).
Siden \(A'\) skifter fra positiv til negativ i \(t = 1\), er dette et maksimumspunkt.
Største areal:
Den verdien av \(t\) som gir størst areal er \(\textcolor{seagreen}{t = 1}\), og det største arealet er \(\textcolor{seagreen}{4096}\) arealenheter.