Derivasjon med brøk og kjerneregel S1 V26
Deriver funksjonene \(g\) og \(h\) gitt ved
Oppgave
- \(g(x) = 3x^2 - 5 + \dfrac{3}{x-2}\)
- \(h(x) = (3x+2)^3 + \ln(3x)\)
Fasit
a) \(g'(x) = 6x - \dfrac{3}{(x-2)^2}\)
b) \(h'(x) = 9(3x+2)^2 + \dfrac{1}{x}\)
Løsningsforslag
Dette løsningsforslaget er laget av KI og er ikke kvalitetssikret.
a
Vi skriver om brøken til en potens:
\[g(x) = 3x^2 - 5 + 3(x-2)^{-1} \]
Nå deriverer vi ledd for ledd. De to første leddene er enkle. For det tredje leddet bruker vi kjerneregelen med ytre funksjon \(u^{-1}\) og indre funksjon \(u = x - 2\):
\[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[3(x-2)^{-1}\right] = 3 \cdot (-1)(x-2)^{-2} \cdot 1 = -\frac{3}{(x-2)^2} \]
Dermed er
\[\boxed{g'(x) = 6x - \frac{3}{(x-2)^2}} \]
\(g'(x) = \underline{\underline{6x - \dfrac{3}{(x-2)^2}}}\)
b
Vi deriverer ledd for ledd med kjerneregelen på begge ledd.
Første ledd: Ytre funksjon \(u^3\), indre funksjon \(u = 3x + 2\):
\[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[(3x+2)^3\right] = 3(3x+2)^2 \cdot 3 = 9(3x+2)^2 \]
Andre ledd: Ytre funksjon \(\ln(u)\), indre funksjon \(u = 3x\):
\[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\ln(3x)\right] = \frac{1}{3x} \cdot 3 = \frac{1}{x} \]
Dermed er
\(h'(x) = \underline{\underline{9(3x+2)^2 + \dfrac{1}{x}}}\)