Oppgaven er hentet fra eksamen S1 V26 del 1 oppgave 6.

Vekstfart fra graf S1 V26

Nedenfor ser du grafen til en funksjon \(f\).

Graf til funksjonen

Oppgave

Bruk figuren til å bestemme den gjennomsnittlige vekstfarten for \(f\) i intervallet \(x \in [0,\ 3]\).
Bruk figuren til å bestemme den momentane vekstfarten når \(x=0\), og når \(x=3\). Forklar hvordan du kommer fram til svarene dine.

Fasit

a) \(-\dfrac{4}{3}\)
b) \(f'(0) = 0\), \(f'(3) \approx 2\)

Løsningsforslag

a

Den gjennomsnittlige vekstfarten i intervallet \([0,\ 3]\) er lik stigningstallet til sekanten gjennom punktene \((0,\ f(0))\) og \((3,\ f(3))\).

Fra grafen leser vi av:

\[f(0) = 4 \qquad f(3) = -0{,}5 \]

Gjennomsnittlig vekstfart:

\[\frac{f(3) - f(0)}{3 - 0} = \frac{0{,}5 - 4}{3} = -\dfrac{-4{,}5}{3}=\underline{\underline{ -\frac{3}{2}}} = -1{,}5 \]

b

Den momentane vekstfarten i et punkt er lik stigningstallet til tangenten i punktet.

Fra grafen ser vi at \(x = 0\) er et toppunkt for \(f\). I et toppunkt er tangenten vannrett (horisontal), og både stigningstallet og den momentane vekstfarten er derfor 0.

Forsøk på avlesning av vekstfart ved

Vi tegner en tangent ved \(x=3\) og finner at denne har stigningstall

\[\frac{1{,}5-(-0{,}5)}{4{,}5-3}=\frac{2}{1{,}5}=\frac{4}{3} \]

Den momentane vekstfarten ved \(x=0\) er \(\underline{\underline{ 0 }}\) og den momentane vekstfarten ved \(x=3\) er omtrent \(\underline{\underline{ \frac{4}{3} }}\).

Relatert

Tilfeldige oppgaver i samme fag

Det er ofte best å blande hvilke type oppgaver man gjør dersom du skal forberede deg til en prøve eller eksamen. Her er tre tilfeldige oppgaver i S1.

Lignende oppgaver sortert etter tema

Vekstfart

Oppgave	Fag	År	Oppg
Ukjent program med kostnader for produksjon	S1	V23	1-5
Bakteriekulturer - eksponentialvekst S2 V26	S2	V26	2-1

Derivasjon

Oppgave	Fag	År	Oppg
Derivasjon av tre typer funksjoner	S2	V19	1-1
Tredjegradsfunksjon med transformasjon	S2	V19	1-6
Derivasjon av funksjoner	S2	H19	1-1
Inntektsfunksjon med eksponential	S2	H19	2-2
Polynomdivisjon og funksjonsdrøfting	S2	H19	1-5
Enkel derivasjon	S2	V20	1-1
Kostnadsfunksjon og tangent	S2	V20	1-6
Overskuddsfunksjon og prisfunksjon	S2	V20	2-3
Tredjegradsfunksjon og vannstand	S2	V20	1-5
Derivasjon av sammensatte funksjoner	S2	H20	1-1
Enhetskostnad og grensekostnad	S2	H20	1-6
Logaritmefunksjon uten ekstremalpunkter	S2	H20	1-8
Tredjegradsfunksjon med vendetangent	S2	H20	1-5
Derivasjon med logaritme og eksponential	S2	V21	1-1
Logaritmefunksjon med drøfting	S2	V21	1-6
Derivasjon med eksponential og logaritme	S2	H21	1-1
Logaritmefunksjon ln x delt på x	S2	H21	1-5
Derivasjon av tre funksjoner	S2	V22	1-1
Tredjegradsfunksjon med nullpunkter og vendetangent	S2	V22	1-2
Bakterievekst i avfall	S2	H22	2-1
Deriver eksponential- og logaritmefunksjon	S2	H22	1-1
Funksjonsdrøfting med eksponentialfaktor	S2	H22	1-7
Avgjør påstander om funksjoner	R1	V23	2-3
Avstand fra punkt til linje og graf	R1	V23	2-6
Derivasjon av eksponential og logaritme	R1	V23	1-1
Grønnsaksporsjoner og potensfunksjon	2P-Y	V23	2-7
Optimering av rektangelareal og program	R1	V23	1-4
Banefart til 3D-printer	R2	V23	2-3
Tangens, derivert og integral	R2	V23	1-2
Gjennomsnittstemperatur på Svalbard og den deriverte	1T	V23	2-1
Grensekostnader fra graf v23	S2	V23	1-2
Skisser grafen ut fra den deriverte v23	1T	V23	1-5
Deriver logaritmefunksjon	S1	V23	1-2
Regresjon på størrelsen av det norske musikkstrømmemarkedet	S2, R2	V23	2-2
Grenseverdi når x går mot 2	S1, R1	V23	1-3
Cauchys middelverdisetning	R1	H23	2-6
Ishockeypuck med vektorfunksjon	R1	H23	2-5
Kasse uten lokk	S1, R1	H23	2-5
Konsentrasjon i kjemisk reaksjon	R1	H23	2-1
Påstander om tredjegradsfunksjon	S1, R1	H23	2-6
Stykkevis funksjon med parameter k	R1	H23	2-2
Deriver x ln(x)	R1	H23	1-1
Tolk og fiks program som finner bunnpunkt	R1	H23	1-4
Avstand mellom to funksjoner	1T	H23	2-5
Folketall i et område	1T	H23	2-1
Rektangel under graf	1T	H23	2-7
Tangent til tredjegradsfunksjon	1T	H23	1-3
Tidevann og trigonometrisk modell	R2	H23	2-1
Tredjegradsfunksjon med ukjente koeffisienter	1T	H23	2-6
Grensekostnader og enhetskostnader fra graf	S2	H23	1-3
Modell for etterspørsel av vare	S2	H23	2-1
Modellering av bagettsalg	1T, 1P	V24	2-1
Tangent fra derivertgraf	1T	V24	2-6
Derivasjon med produktregel og ln	S1, R1	V24	1-1
Edison biler – overskudd og enhetskostnad	S1	V24	2-1
Influensaepidemi og logistisk vekst	R1	V24	2-1
Innskrevet rektangel og Lars sitt program	S1, R1	V24	2-7
Pyramide i halvkule – størst mulig volum	S1, R1	V24	2-8
Påstander om logaritme, derivasjon og invers	R1	V24	2-2
To biler på kryss og motorvei	R1	V24	2-3
Sensor for utelys og trigonometri	R2	V24	2-3
Logistisk vekst for et produkt	S2	V24	2-1
Derivasjon av eksponentialfunksjon	S1, R1	H24	1-1
Fiskepopulasjon og logistisk modell	R1	H24	2-3
Identifiser funksjon fra vekstfart og derivert	S1, R1	H24	1-6
Optimalisering av parkeringsinntekt	S1	H24	2-5
Overskuddsoptimalisering for båtmotorer	S1	H24	2-6
Posisjonsvektorer for småfugler og rovfugl	R1	H24	2-6
Påstander om grenseverdi og deriverbarhet	R1	H24	2-2
Vannreservoar med eksponentiell funksjon	R1	H24	2-1
Avisabonnenter, sekant og momentan vekstfart	1T	H24	2-1
Ball i bevegelse med posisjonsvektor	R2	H24	2-1
Russebil med trigonometrisk fartsfunksjon	R2	H24	2-4
Tredjegradsfunksjon fra punkt, toppunkt og tangent	1T	H24	2-5
Grensekostnad og enhetskostnad del 1	S2	H24	1-5
Marcos logistiske løpetrening	S2	H24	2-1
Bil på spiralvei i parkeringshus	R2	V25	2-1
Harens fart og gjennomsnittsfart	R2	V25	2-3
Grenseinntekt og grensekostnad på del 2	S2	V25	2-1
Logistisk salg av brannvarslingssystemer	S2	V25	2-3
Derivasjon av eksponential og potensfunksjon	S1, R1	V25	1-1
Funksjon med delt forskrift og ukjent ledd	S1	V25	2-2
Kontinuitet og deriverbarhet stykkevis	R1	V25	1-5
Logistisk vekstmodell batteriteknologi	R1	V25	2-1
Nullpunkter og ekstremalpunkter for g	S1	V25	1-2
Nullpunkter og ekstremalpunkter med produkt	R1	V25	1-2
Omvendt funksjon og tangentlikninger	R1	V25	2-2
Stykkevis funksjon med ukjent uttrykk	R1	V25	2-3
T-skjorter, inntekt og overskudd	S1	V25	2-5
Tangent til ln og trekantareal	R1	V25	2-5
Miniubåt, fart og kollisjon med fiskestim	R2	H25	2-1
Derivasjon og graffortolkning	R1	H25	1-1
Derivasjon og tolkning av stigningstall	S1	H25	1-1
Eksponentiell modell for befolkningsvekst	S1	H25	2-1
Funksjonsdrøfting og halveringsmetode	R1	H25	1-5
Grafer og dobbeltderivert	R1	H25	2-6
Kostnad, pris og overskudd	S1	H25	2-4
Logistisk vekstmodell	R1	H25	2-1
Stykkevis funksjon og deriverbarhet	R1	H25	2-2
Topp- og bunnpunkter med ln	S1	H25	1-5
Grensekostnader, enhetskostnader og overskudd	S2	H25	2-2
Logistisk plantesalg	S2	H25	2-1
Størst mulig rektangel under kurve	1T	H25	2-5
Tangent til parabel og lagerhall	1T	H25	2-6
Vekt og lengde potensfunksjon	1T	H25	2-1
Bakteriekulturer - eksponentialvekst S2 V26	S2	V26	2-1
Datatrafikk og sinusmodell R2 V26	R2	V26	2-1
Propellfly med vektorfunksjon R2 V26	R2	V26	2-3
Derivert av andregradsfunksjon fra tangent 1T V26	1T	V26	1-9
Derivasjon av polynom og brøk R1 V26	R1	V26	1-1
Derivasjon med brøk og kjerneregel S1 V26	S1	V26	1-1
Derivert av omvendt funksjon til ln R1 V26	R1	V26	1-6
Logistisk modell for raketthastighet R1 V26	R1	V26	2-1
Maksimalt rektangel under eksponentialgraf R1 V26	R1, S1	V26	2-3
Potensregresjon for volum og radius S1 V26	S1	V26	2-1
Python-kode for stasjonære punkter R1 V26	R1	V26	1-9
Tangent fra origo til eksponentialfunksjon R1 V26	R1	V26	2-5
Topp- og bunnpunkt for eksponentialfunksjon R1 V26	R1, S1	V26	1-2

Tolke grafer

Oppgave	Fag	År	Oppg
Omvendt funksjon fra grafer	R1	V23	2-4
Aurora går til postkontoret	1P	V23	2-2
Potetsekker i koordinatsystem	1P	V23	2-4
Grensekostnader fra graf v23	S2	V23	1-2
Enhetskostnader fra graf	S2	H14	1-5
Lag funksjonsuttrykk til grafen av rasjonal funksjon	1T	V23	1-4
Matpriser og meieriprodukter	1P-Y RM	H23	1-4
Ola og Mari dreier akslinger	1P-Y TP	H23	1-4
Ole sin høyde og vekstdiagram	1P-Y EL, 1P-Y BA, 1P-Y FD, 1P-Y HS, 1P-Y DT, 1P-Y IM, 1P-Y NA, 1P-Y RM, 1P-Y SR, 1P-Y TP	H23	1-2
Racerbil og fartsgraf	1P	H23	2-8
Rasjonale funksjoner og grafvalg	1T	H23	1-5
Grensekostnader og enhetskostnader fra graf	S2	H23	1-3
Prisvekst matvarer og Emils påstander	1P-Y RM	V24	1-5
Bestem grunntall i logaritmefunksjon	S1, R1	H24	2-3
Identifiser funksjon fra vekstfart og derivert	S1, R1	H24	1-6
Figurer som viser normalfordeling	S2	H24	1-4
Enhetskostnader og grensekostnader fra graf v25	S2	V25	1-5
Noras bøtte med godteri	1P	V25	1-8
Proporsjonale og omvendt proporsjonale størrelser fra graf	1P	V24	1-3
Proporsjonale og omvendt proporsjonale størrelser fra graf	2P-Y	H24	1-3
Proporsjonalitet fra grafer 2P-Y H25	2P-Y	H25	1-5
Finn riktig graf for normalfordelingene	S2	H25	1-5
Annuitetslån eller serielån	1P-Y EL, 1P-Y BA, 1P-Y FD, 1P-Y HS, 1P-Y DT, 1P-Y IM, 1P-Y NA, 1P-Y RM, 1P-Y SR, 1P-Y TP	H25	1-2
Blomsterdekorasjoner og fortjeneste	1P-Y FD, 1P-Y DT	H25	1-5
Grafer og fire situasjoner	1P	H25	2-2
Lønn og timelønn fra grafer	1P	H25	1-5
Hytteleie omvendt proporsjonal funksjon	2P-Y	V24	2-1
Funksjonsuttrykk fra trigonometrisk graf R2 V26	R2	V26	1-4
Kostnads- og inntektsfunksjoner - graftolkning S2 V26	S2	V26	1-6
Lønn for Ina på søylediagram	1P-Y BA, 1P-Y DT, 1P-Y EL, 1P-Y FD, 1P-Y HS, 1P-Y IM, 1P-Y NA, 1P-Y RM, 1P-Y SR, 1P-Y TP	V26	1-1
Matkast og prosent av matvarekjøp	1P-Y HS, 1P-Y RM	V26	1-5
Vipebestand med eksponentielle modeller 1T V26	1P, 1T	V26	2-3
Kumulativ frekvenskurve for aldersfordeling 2P-Y V26	2P-Y, 2P	V26	1-13
Tolkning av integral og areal fra graf Tolkning av integral og areal fra graf	S2, R2	H25	1-3