Rasjonale funksjoner og grafvalg

a) Graf C
b) Graf F

a

Vi finner kjennetegnene til \(f(x) = \dfrac{2x-8}{x+2}\).

Vertikal asymptote der nevneren er null:

Horisontal asymptote — teller og nevner er begge av grad 1, så vi tar forholdet mellom de ledende koeffisientene:

Nullpunkt — sett teller lik null:

Skjæring med \(y\)-aksen (\(x = 0\)):

Vi leter etter grafen som har:

• én vertikal asymptote til venstre for \(y\)-aksen (ved \(x = -2\)),
• horisontal asymptote ved \(y = 2\) (over \(x\)-aksen),
• nullpunkt ved \(x = 4\) (til høyre for \(y\)-aksen),
• skjærer \(y\)-aksen ved \(y = -4\) (under \(x\)-aksen).

Dette passer med graf C.

b

Vi finner kjennetegnene til \(g(x) = \dfrac{x^2 - 4}{(x-3)(x+3)}\).

Vertikale asymptoter der nevneren er null:

Grafene med to vertikale asymptoter er D, E og F.

Horisontal asymptote — teller og nevner er begge av grad 2:

Nullpunkter — faktoriser telleren:

Nullpunktene \(x = -2\) og \(x = 2\) ligger begge mellom de to asymptotene ved \(x = -3\) og \(x = 3\).

Skjæring med \(y\)-aksen (\(x = 0\)):

\(y\)-skjæringen er positiv og litt under den horisontale asymptoten \(y = 1\).

Vi leter etter grafen med:

• to vertikale asymptoter symmetrisk om \(y\)-aksen (ved \(x = \pm 3\)),
• horisontal asymptote ved \(y = 1\),
• to nullpunkter mellom asymptotene (ved \(x = \pm 2\)),
• \(y\)-skjæring mellom 0 og 1.

Dette passer med graf F.