Rasjonale funksjoner Noah og Johanne
Klassen til Noah og Johanne arbeider med rasjonale funksjoner. Læreren har tegnet grafene til to rasjonale funksjoner \(f\) og \(g\) og bedt elevene undersøke hvordan funksjonsuttrykkene kan se ut.
Grafen til \(f\) har to vertikale asymptoter. Hvordan må nevneren i brøken da se ut?
Jeg tror jeg vet det! Tenk på hvordan vi har funnet den vertikale asymptoten til de rasjonale funksjonene vi har arbeidet med tidligere.
Ja! Da skjønner jeg også hvordan nevneren til \(g\) kan se ut! Den grafen har jo ingen vertikale asymptoter!
Vi må passe på at nullpunktet, skjæringspunktet med \(y\)-aksen og den horisontale asymptoten også blir riktig.
Hjelp Noah og Johanne med å finne fram til et mulig funksjonsuttrykk \(f(x)\) for funksjonen \(f\) og et mulig funksjonsuttrykk \(g(x)\) for funksjonen \(g\).
Husk å argumentere for dine valg av funksjonsuttrykk.
\(\underline{\underline{f(x) = \dfrac{5x - 2}{x^2 - 1}}}\) og \(\underline{\underline{g(x) = \dfrac{5x - 2}{x^2 + 1}}}\)
Vi leser av egenskapene til grafene og setter opp funksjonsuttrykk som passer.
Funksjonen \(f\)
Grafen til \(f\) har følgende egenskaper:
- To vertikale asymptoter ved \(x = -1\) og \(x = 1\)
- Horisontal asymptote \(y = 0\)
- Positiv \(y\)-skjæring (\(f(0) > 0\))
- Nullpunkt mellom \(0\) og \(1\) (ca. \(x = 0{,}4\))
Siden \(f\) har vertikale asymptoter ved \(x = -1\) og \(x = 1\), må nevneren ha nullpunkter nettopp der. En naturlig nevner er
Telleren må gi nullpunkt nær \(x = 0{,}4\). Et lineært uttrykk \(5x - 2\) har nullpunkt i \(x = \tfrac{2}{5}\), som passer godt. Da blir
Vi verifiserer:
- Vertikale asymptoter: \(x^2 - 1 = 0 \Rightarrow x = \pm 1\) ✓
- Nullpunkt: \(5x - 2 = 0 \Rightarrow x = \tfrac{2}{5}\) ✓
- \(y\)-skjæring: \(f(0) = \dfrac{-2}{-1} = 2 > 0\) ✓
- Horisontal asymptote: \(\lim_{x \to \pm\infty} \dfrac{5x - 2}{x^2 - 1} = 0\) ✓
Funksjonen \(g\)
Grafen til \(g\) har følgende egenskaper:
- Ingen vertikale asymptoter
- Horisontal asymptote \(y = 0\)
- Negativ \(y\)-skjæring og samme type teller som \(f\) (lik nullpunkt og y-skjæring i tallverdi før fortegn)
- Lokalt minimum like til venstre for \(y\)-aksen, lokalt maksimum til høyre
Siden \(g\) ikke har vertikale asymptoter, må nevneren aldri bli null. Vi beholder samme teller som i \(f\) og bytter nevner til \(x^2 + 1\) (alltid positiv):
Vi verifiserer:
- Ingen vertikale asymptoter: \(x^2 + 1 \geq 1 > 0\) for alle \(x\) ✓
- Nullpunkt: \(5x - 2 = 0 \Rightarrow x = \tfrac{2}{5}\) ✓
- \(y\)-skjæring: \(g(0) = \dfrac{-2}{1} = -2\) ✓
- Horisontal asymptote: \(\lim_{x \to \pm\infty} \dfrac{5x - 2}{x^2 + 1} = 0\) ✓
Grafene er tegnet i GeoGebra (blå = \(f\), rød = \(g\)) og samsvarer med originalfigurene:
