Kontinuerlig funksjon med størst mulig definisjonsmengde
En funksjon \(f\) er definert ved
Gi funksjonen \(f\) en ny definisjonsmengde slik at følgende er oppfylt samtidig:
- \(f\) skal være kontinuerlig.
- Den nye definisjonsmengden skal være så stor som mulig.
- Verdimengden til \(f\) skal være uendret.
\(\underline{\underline{D_f = [0, 2\rangle \cup \langle 2, 5]}}\). Da er \(f\) kontinuerlig på hele \(D_f\), \(V_f = [0, 3\rangle\) er uendret, og vi har bare fjernet det enkelte punktet \(x = 2\).
Vi sjekker først om \(f\) er kontinuerlig i \(x = 2\):
- Fra venstre: \(\lim_{x \to 2^-} f(x) = 2\)
- Fra høyre: \(\lim_{x \to 2^+} f(x) = 5 - 2 = 3\)
Grensene er ulike, så \(f\) har et hopp i \(x = 2\) og er ikke kontinuerlig der.
Verdimengden til den opprinnelige \(f\):
- \(f(x) = x\) på \([0, 2]\) gir \([0, 2]\)
- \(f(x) = 5 - x\) på \(\langle 2, 5]\) gir \([0, 3\rangle\) (verdien \(3\) nås aldri fordi \(x = 2\) ikke er med i andre stykke)
Til sammen: \(V_f = [0, 3\rangle\).
For å gjøre \(f\) kontinuerlig må vi unngå hoppet ved \(x = 2\). Den enkleste måten er å fjerne kun selve punktet \(x = 2\):
På denne mengden er \(f\) kontinuerlig (polynomer er kontinuerlige på hver komponent, og \(x = 2\) er ikke lenger i \(D_f\)).
Verdimengden blir:
- \(f([0, 2\rangle) = [0, 2\rangle\)
- \(f(\langle 2, 5]) = [0, 3\rangle\)
- Til sammen: \(V_f = [0, 3\rangle\) — uendret.
Definisjonsmengdens "lengde" er fortsatt \(5\) (vi har bare fjernet ett enkeltpunkt). Dette er den største mulige definisjonsmengden som oppfyller begge krav: vi kan ikke ha med \(x = 2\) uten å bryte kontinuiteten.
Svar: \(\underline{\underline{D_f = [0, 2\rangle \cup \langle 2, 5]}}\).