Sylinderboks med minst overflate
Isabel er industridesigner. Hun arbeider med et design på bokser med form som sylindre.
Formel for å regne ut volumet av en boks med radius \(r\) og høyde \(h\)
Formel for å regne ut arealet av overflaten av boksen
Isabel lurer på hvor stor radius hun bør velge og hvor høye boksene må være, når hver boks skal ha
- et volum \(V\) på \(450 \mathrm{~cm^3}\)
- minst mulig overflate \(O\)
Isabel ser at når hun har gitt volum og radius, kan hun regne ut høyden ved å bruke formelen \(V = \pi \cdot r^2 \cdot h\)
- Lag en oversikt som vist nedenfor. Gjør beregninger og fyll inn verdiene som mangler.
Radius, \(r\) (cm) Høyde, \(h\) (cm) Overflate, \(O\) (cm²) Volum, \(V\) (cm³) 2 35,8 462,6 450 4 450 6 450 8 450
Isabel ønsker å lage en modell som viser overflaten av ulike bokser hun kan lage ved å endre radius.
- Sett opp et funksjonsuttrykk Isabel kan bruke, og lag en grafisk framstilling som viser sammenhengen mellom radius og overflate.
- Hvor stor må radius i boksene være for at overflaten skal bli minst mulig? Hvor stor blir overflaten da?
a)
| Radius, \(r\) (cm) | Høyde, \(h\) (cm) | Overflate, \(O\) (cm²) | Volum, \(V\) (cm³) |
|---|---|---|---|
| 2 | 35,8 | 462,6 | 450 |
| 4 | 8,95 | 275,3 | 450 |
| 6 | 3,98 | 263,1 | 450 |
| 8 | 2,24 | 313,6 | 450 |
b) \(O(r) = \pi r^2 + \dfrac{900}{r}\)
c) \(\underline{\underline{r \approx 5{,}23 \, \mathrm{cm}}}\), \(\underline{\underline{O_{\min} \approx 258 \, \mathrm{cm}^2}}\)
a
Isabel har gitt at \(V = 450 \, \mathrm{cm}^3\). Hun løser volumformelen for \(h\):
Deretter settes \(h\) inn i overflateformelen:
Vi beregner \(h\) og \(O\) for hver radiusverdi i GeoGebra CAS (se utklipp):
| Radius, \(r\) (cm) | Høyde, \(h\) (cm) | Overflate, \(O\) (cm²) | Volum, \(V\) (cm³) |
|---|---|---|---|
| 2 | 35,8 | 462,6 | 450 |
| 4 | 8,95 | 275,3 | 450 |
| 6 | 3,98 | 263,1 | 450 |
| 8 | 2,24 | 313,6 | 450 |
b
Vi setter \(h = \dfrac{450}{\pi r^2}\) inn i formelen for overflaten:
Grafen under viser \(O(r)\) for \(r > 0\) med bunnpunktet markert:
c
Vi finner minimumet ved å derivere \(O(r)\) og sette \(O'(r) = 0\):
Vi setter \(O'(r) = 0\):
GeoGebra CAS gir \(r \approx 5{,}23 \, \mathrm{cm}\) (se utklipp over).
Høyden blir da:
Vi merker oss at \(h = r\) ved minimumet — boksen er like høy som den er bred.
Minste overflate:
Isabel bør velge radius \(\underline{\underline{r \approx 5{,}23 \, \mathrm{cm}}}\). Da blir overflaten minst mulig, \(\underline{\underline{O_{\min} \approx 258 \, \mathrm{cm}^2}}\).