Kasser av metallplater
Sofie arbeider ved en bedrift og skal lage kasser av metallplater. Metallplatene har form som rektangler og er 1200 mm lange og 800 mm brede.
For å lage kassene skal hun skjære bort et kvadrat i hvert av hjørnene og brette opp sidekantene.
Kassene skal fylles med sand.
- Vis at det vil være plass til 60 L sand i en kasse dersom Sofie skjærer bort kvadrater med sidelengde 100 mm i hvert hjørne.
Sofie ønsker en oversikt som viser volumet av ulike kasser hun kan lage av metallplatene.
- Lag en systematisk oversikt for Sofie. Av oversikten skal Sofie kunne se omtrent hvor lange sidene i kvadratene hun skal skjære bort må være, for at volumet av kassen skal bli størst mulig.
Sofie ønsker å lage en modell som viser volumet av de ulike kassene hun kan lage av metallplatene.
- Sett opp et funksjonsuttrykk Sofie kan bruke, og lag en grafisk framstilling som viser sammenhengen mellom lengden av sidene i kvadratene hun skjærer bort, og volumet av kassene.
- Hvor mye av hjørnene må Sofie skjære bort dersom hun vil lage kassene slik at volumet blir størst mulig? Hvor stort blir dette volumet?
- Hva vil du si er modellens gyldighetsområde? Argumenter for svaret ditt.
a) Volum \(= 1000 \cdot 600 \cdot 100 \, \mathrm{mm}^3 = 60\,000\,000 \, \mathrm{mm}^3 = 60 \, \mathrm{L}\)
b) Maksimalt volum ved \(x \approx 150 \, \mathrm{mm}\)
c) \(V(x) = (1200 - 2x)(800 - 2x) \cdot x\), se grafisk fremstilling
d) \(x \approx 157 \, \mathrm{mm}\), maks volum \(\approx 67{,}6 \, \mathrm{L}\)
e) Gyldighetsområde: \(0 < x < 400 \, \mathrm{mm}\)
a
Med sidelengde \(x = 100 \, \mathrm{mm}\) på hvert utskåret kvadrat:
- Lengde: \(1200 - 2 \cdot 100 = 1000 \, \mathrm{mm}\)
- Bredde: \(800 - 2 \cdot 100 = 600 \, \mathrm{mm}\)
- Høyde: \(100 \, \mathrm{mm}\)
Vi omregner til liter (\(1 \, \mathrm{L} = 1\,000\,000 \, \mathrm{mm}^3\)):
b
La \(x\) være sidelengden (i mm) til de utskårede kvadratene. Vi lager en oversikt:
| \(x\) (mm) | Lengde (mm) | Bredde (mm) | Volum (L) |
|---|---|---|---|
| 50 | 1100 | 700 | 38,5 |
| 100 | 1000 | 600 | 60,0 |
| 150 | 900 | 500 | 67,5 |
| 200 | 800 | 400 | 64,0 |
| 250 | 700 | 300 | 52,5 |
| 300 | 600 | 200 | 36,0 |
| 350 | 500 | 100 | 17,5 |
Ut fra tabellen ser vi at volumet er størst når \(x\) er omtrent \(150 \, \mathrm{mm}\).
c
Når Sofie skjærer bort kvadrater med sidelengde \(x\) mm, får kassen:
- Lengde: \((1200 - 2x) \, \mathrm{mm}\)
- Bredde: \((800 - 2x) \, \mathrm{mm}\)
- Høyde: \(x \, \mathrm{mm}\)
Funksjonsuttrykket (volum i L):
Vi tegner grafen i GeoGebra:
d
Fra grafen (se punkt Maks) er volumet størst ved \(x \approx 157 \, \mathrm{mm}\), og maksimalt volum er ca. \(67{,}6 \, \mathrm{L}\).
Sofie bør skjære bort kvadrater med sidelengde ca. \(\underline{\underline{157 \, \mathrm{mm}}}\). Da blir volumet størst mulig med ca. \(\underline{\underline{67{,}6 \, \mathrm{L}}}\).
e
For at kassen skal gi mening må alle dimensjonene være positive:
- Høyde: \(x > 0\)
- Bredde: \(800 - 2x > 0 \Rightarrow x < 400\)
(Lengdebetingelsen \(x < 600\) er oppfylt automatisk når \(x < 400\).)
Gyldighetsområdet er \(\underline{\underline{0 < x < 400 \, \mathrm{mm}}}\).
I praksis vil det også være en nedre grense (for eksempel \(x \geq 10 \, \mathrm{mm}\)) siden det ikke er mulig å skjære bort kvadrater som er for bitte små, men matematisk sett er \(0 < x < 400 \, \mathrm{mm}\) det naturlige gyldighetsområdet.