Kontinuerlig stykkevis funksjon
En funksjon \(f\) er gitt ved
\[f(x) = \begin{cases}x^2 + 3x - a^2\text{,} \quad & x < 1 \\ x - 1\text{,} & x \geq 1 \end{cases}
\]
Oppgave
Bestem \(a\) slik at funksjonen blir kontinuerlig.
Fasit
\(a = 2\) eller \(a = -2\)
Løsningsforslag
Dette løsningsforslaget er laget av KI og er ikke kvalitetssikret.
For at \(f\) skal være kontinuerlig i \(x = 1\) må grenseverdiene fra venstre og høyre være like.
Grenseverdi fra venstre (\(x \to 1^-\), bruker \(x^2 + 3x - a^2\)):
\[\lim_{x \to 1^-} f(x) = 1^2 + 3 \cdot 1 - a^2 = 4 - a^2
\]
Grenseverdi fra høyre (\(x \to 1^+\), bruker \(x - 1\)):
\[\lim_{x \to 1^+} f(x) = 1 - 1 = 0
\]
Vi setter grenseverdiene lik hverandre:
\[4 - a^2 = 0
\]
\[a^2 = 4
\]
\[a = \pm 2
\]
\(\underline{\underline{a = 2 \text{ eller } a = -2}}\)
Sensorveiledning · 2 poeng
Det kan gis full uttelling med kun én verdi for \(a\) hvis argumentasjonen for kontinuitet er tilfredsstillende.