Har alle fjerdegradsfunksjoner ekstremalpunkt
Nedenfor ser du tre påstander. Avgjør i hvert tilfelle om påstanden er sann eller usann. Husk å vise tydelig hvordan du argumenterer og resonnerer.
Oppgave a finner du her: Logaritmepåstand
- Alle fjerdegradsfunksjoner må ha minst ett ekstremalpunkt.
Oppgave c finner du her: Sannsynligheter ved lottospill
Påstanden stemmer
En fjerdegradsfunksjon \(f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e\) har minst ett stasjonært dersom \(f'(x)=4ax^3+3bx^2+2cx+d\) har minst ett nullpunkt.
Tredjegradsfunksjonen \(f'\) vil alltid ha minst ett nullpunkt. \(f'\) vil oppføre seg på en av to måter
- \(\lim_{ x \to \infty } f'(x) = \infty \wedge \lim_{ x \to -\infty } f'(x)=-\infty\). \(f'\) vil altså gå fra \(-\infty\) mot \(+\infty\) når \(x\) vokser.
- \(\lim_{ x \to \infty } f'(x) = -\infty \wedge \lim_{ x \to -\infty } f'(x)=\infty\). \(f'\) vil altså bevege seg fra \(+\infty\) mot \(-\infty\) når \(x\) vokser.
Siden \(f'\) må krysse \(x\)-aksen så må det stasjonære punktet være enten et toppunkt eller et bunnpunkt.
En fjerdegradsfunksjon har alltid minst ett toppunkt eller bunnpunkt.