Sum av integralrekke

Løsningsforslag

Usikker løsning

Jeg skrev denne løsningen rett etter eksamen. Jeg husker jeg var veldig usikker på om dette var svaret de var ute etter, om jeg hadde gjort noe galt eller om det er noe galt med oppgaven. Hvis jeg får tid så skal jeg undersøke videre.

\[S(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{1} \cdot \left( \int_{0}^{x} e^{-t} \, \mathrm{d}t \right)^{n} \]

Jeg ser at jeg kan bestemme integralet, så jeg begynner med det

\[\int_{0}^{x} e^{-t} \, dt =\left[ -e^{-t} \right]_{0}^{x}=-e^{-x}-(-e^{0})=1-e^{-x}=1-\frac{1}{e^{x}} \]

Jeg ser også at rekka er geometrisk med første ledd \(a_{1}\) og kvotient \(k(x)=1-\frac{1}{e^{x}}\).

Geometriske rekker er konvergente dersom \(-1.

Jeg ser at

\[\lim_{ x \to \infty } \left( 1-\frac{1}{e^{x}} \right) = 1-0= 1 \]

Jeg undersøker om \(k(x)>-1\) ved å sette opp likningen

Konvergensområdet til rekka er altså \(-\ln 2 < x < \infty\).

\(k(x)\) er strengt voksende, så vi bør få den minste summen når \(x\) nærmer seg \(-\ln 2\) fra den positive siden.

Hvis vi lar \(x=- \ln 2\) så får vi

\[S(x)=a_{1} \cdot e^{x} \iff 1=a_{1}\cdot e^{-\ln 2} \iff \frac{1}{a_{1}}=2^{-1}\iff a_{1}=2 \]

Verdien \(x = -\ln 2\) ligger utenfor konvergensområdet, så summen \(S(x) = 1\) oppnås aldri. Men \(S(x)\) kan komme vilkårlig nær \(1\) når \(x \to (-\ln 2)^+\), og summen kan aldri bli lavere enn \(1\). Den minste mulige summen er derfor \(1\), og \(a_1 = 2\).

Morsom løsning

«Verdien» \(a_{1}=e^{-x}\) vil gi

\[S(x)=a_{1} \cdot e^{x}=e^{-x} \cdot e^{x} = 1 \]

Det er selvsagt implisert at \(a_{1}\) er et tall og ikke en funksjon. Dette er derfor ikke et svar på oppgaven.

Det er ofte best å blande hvilke type oppgaver man gjør dersom du skal forberede deg til en prøve eller eksamen. Her er tre tilfeldige oppgaver i R2.

Oppgave	Fag	År	Oppg
Annuitetslån og serielån Pia	S2	V19	2-4
Aritmetisk rekke med formel	S2	V19	1-4
Sprettball og uendelig rekke	S2	V19	1-5
Aritmetisk rekke med sum	S2	H19	1-2
Lønnsøkning og videreutdanning	S2	H19	2-4
Uendelig geometrisk rekke og desimaltall	S2	H19	1-3
Annuitetslån og serielån	S2	V20	2-4
Aritmetisk sum og uendelig geometrisk rekke	S2	V20	1-3
Geometrisk rekke og sparing	S2	H20	1-3
Sum av aritmetisk rekke	S2	H20	1-2
Virkestoff og halveringstid	S2	H20	2-4
Spareavtale og aksjefond	S2	V21	2-2
Summer av rekker	S2	V21	1-2
Aritmetisk rekke med sumformel	S2	H21	1-3
Camillas aksjefond	S2	H21	2-2
Aritmetisk og geometrisk rekke med betingelser	S2	V22	1-3
Sparing og annuitetslån Camilla	S2	V22	2-3
Virkestoff i tablett	S2	V22	1-4
Sparing og annuitetslån	S2	H22	2-2
Mønster med sirkler i figurer	2P-Y	V23	1-4
Sum av aritmetisk rekke med kode	R2	V23	1-4
Uendelig rekke med virkestoff fra legemiddel	S2	V23	1-4
Annuitetslån	S2	V23	2-1
Hildegunns ukepenger	S2, R2	V23	2-4
Ukjent program del 1 S2	S2	V23	1-4
Aritmetisk mur	S2	E22	1-2
Begrunn at uendelig rekke konvergerer	S2	H22	1-2
Idas jakke	S2	H22	1-5
Summen av repeterende brøker	S2	Ingen	Ingen
Linjestykker og geometrisk vekst	1P, 1T	H23	2-6
Kvadratserie geometrisk rekke	2P	H23	2-7
Summen av ukjent uendelig geometrisk rekke	S2	E22	1-3
Aritmetisk rekke	S2, R2	H23	1-2b
Uendelig geometrisk rekke	S2, R2	H23	1-2a
Miriam og Hermods sparing	S2	H23	2-2
Rekursiv sammenheng mellom pentagontall	S2	H23	2-4
Summer av oddetall og programmering	1T	V24	2-4
Ukjent program S2 v24	S2, R2	V24	1-3
Olivias annuitetslån	S2	V24	2-3
Uendelig logaritmisk rekke	S2, R2	Ingen	2-2.158
Sumformel, kvotient og geometrisk rekke	R2	H24	1-2
Vurder påstander om rekke, plan og areal	R2	H24	2-2
Aritmetiske og geometriske rekker h24	S2	H24	1-2
Påstand om sum av rekke	S2	H24	2-3a
Oles studielån	S2	H24	2-5
Rekursiv formel og programmering	S2, R2	H24	2-4
Tallfølge med programmering og induksjon	R2	V25	1-3
Noras sparing og lån	S2, R2	V25	2-4
Ukjente programmer S2 v25	S2	V25	1-4
Vis at rekke blir ln 2	S2, R2	V25	2-5
Trekantmønster og programmering 2P-Y H25	2P-Y	H25	1-6
Aritmetisk og geometrisk rekke	R2	H25	1-6
CCl4-konsentrasjon og geometrisk rekke	R2	H25	2-3
Induksjonsbevis for geometrisk rekke	R2	H25	1-8
Gråmønster i likesidet trekant	1T	H25	2-4
Mathias sine lån for å kjøpe bil Mathias sine lån for å kjøpe bil	S2	H25	2-4
S2 H2025 ulike rekker del 1 S2 H2025 ulike rekker del 1	S2	H25	1-2

Oppgave	Fag	År	Oppg
Sprettball og uendelig rekke	S2	V19	1-5
Uendelig geometrisk rekke og desimaltall	S2	H19	1-3
Aritmetisk sum og uendelig geometrisk rekke	S2	V20	1-3
Geometrisk rekke og sparing	S2	H20	1-3
Virkestoff og halveringstid	S2	H20	2-4
Summer av rekker	S2	V21	1-2
Virkestoff i tablett	S2	V22	1-4
Uendelig rekke med virkestoff fra legemiddel	S2	V23	1-4
Uendelig geometrisk rekke	S2, R2	H23	1-2a
Uendelig logaritmisk rekke	S2, R2	Ingen	2-2.158
Sumformel, kvotient og geometrisk rekke	R2	H24	1-2
Aritmetiske og geometriske rekker h24	S2	H24	1-2
Påstand om sum av rekke	S2	H24	2-3a
Vis at rekke blir ln 2	S2, R2	V25	2-5
Aritmetisk og geometrisk rekke	R2	H25	1-6
CCl4-konsentrasjon og geometrisk rekke	R2	H25	2-3
S2 H2025 ulike rekker del 1 S2 H2025 ulike rekker del 1	S2	H25	1-2
Simulering av antall terningkast for å få samme antall øyne i to kast på rad Simulering av antall terningkast for å få samme antall øyne i to kast på rad	S2	H25	2-6

Oppgave	Fag	År	Oppg
Likninger og ulikheter fra grafer	2P	V23	1-4
Hanois tårn	S2	E22	2-5
Bredden av teltplassen	1T, 1P	V23	2-2
Tredjegradsfunksjoner uten førstegradsledd	1T	V23	2-6
Billetter til fotballkamp	S1	V23	2-5
Lag funksjonsuttrykk til grafen av rasjonal funksjon	1T	V23	1-4
Areal under graf med programmering	1T	V23	2-4
Rart integral	S2, R2	Ingen	Ingen
Ukjent programkode	S2	E22	1-7
Areal av område begrenset av sirkler	GRUBLE	Ingen	Ingen
Areal av sirkel og kvadrat som skjærer hverandre	1T, R1, R2	Ingen	Ingen
Hildes terningkast	S2	V24	1-6
Sveins kurv med baller Sveins kurv med baller	S2	V24	2-5
Vis at rekke blir ln 2	S2, R2	V25	2-5
Argumenter for at prosentregnestykker gir samme svar	2P-Y, 2P	H24	2-3
Tores sykkeltrening	2P-Y	H24	2-8
Internettbruk i aldersgrupper	2P-Y, 2P	H25	2-3
Joggeavstander med gitte sentralmål	2P-Y, 2P	H23	1-4
Statistikk for quizlag Statistikk for quizlag	2P-Y, 2P	H24	2-5

Oppgave	Fag	År	Oppg
Avgjør påstander om funksjoner	R1	V23	2-3
Deig fordelt på personer	2P-Y	V23	1-2
Likninger og ulikheter fra grafer	2P	V23	1-4
Omvendt funksjon fra grafer	R1	V23	2-4
Bredden av teltplassen	1T, 1P	V23	2-2
Gjennomsnittstemperatur på Svalbard og den deriverte	1T	V23	2-1
Grensekostnader fra graf v23	S2	V23	1-2
Skisser grafen ut fra den deriverte v23	1T	V23	1-5
Tredjegradsfunksjoner uten førstegradsledd	1T	V23	2-6
Har alle fjerdegradsfunksjoner ekstremalpunkt	S1, R1	V23	2-2b
Regresjon på størrelsen av det norske musikkstrømmemarkedet	S2, R2	V23	2-2
Andregradsuttrykk skjæringspunkter med x-aksen	1T	V23	1-2
Grenseverdi når x går mot 2	S1, R1	V23	1-3
Lag funksjonsuttrykk til grafen av rasjonal funksjon	1T	V23	1-4
Areal under graf med programmering	1T	V23	2-4
Ukjent programkode	S2	E22	1-7
Kontinuerlig stykkevis funksjon	S1	H23	1-4
Stykkevis funksjon med parameter k	R1	H23	2-2
Avstand mellom to funksjoner	1T	H23	2-5
Luftforurensning og sinusfunksjon	R2	H23	2-4
Rektangel under graf	1T	H23	2-7
Vektorfunksjoner og smygplan	R2	H23	2-5
Sjøtemperatur på Sørlandet	2P-Y	H23	2-1
Andregradsuttrykk og ulikhet fra graf	1T	V24	1-5
Lukket kurve med tre funksjoner	1T	V24	2-7
Tangent fra derivertgraf	1T	V24	2-6
Kontinuerlig funksjon med størst mulig definisjonsmengde	S1, R1	V24	1-5
Påstander om logaritme, derivasjon og invers	R1	V24	2-2
Sinusfunksjon og egenskaper	R2	V24	1-5
Omvendt funksjon fra graf	R1	H24	2-5
Isabels Snapchat-følgere	1P	H24	2-5
Kasser av metallplater	1P	H24	2-8
Sinusfunksjon og cosinusfunksjon	R2	H24	1-5
Påstand om områder avgrenset av grafer	S2	H24	2-3b
Trigonometrisk funksjon og likning	R2	V25	1-4
Funksjon med delt forskrift og ukjent ledd	S1	V25	2-2
Kontinuitet av funksjoner med delt forskrift	S1	V25	1-6
Omvendt funksjon og tangentlikninger	R1	V25	2-2
Stykkevis funksjon med ukjent uttrykk	R1	V25	2-3
Andregradsfunksjon med ett nullpunkt	1T	V25	1-3
Isabels sylinderformede bokser	1P	V25	2-6
Minimumsverdi med while-løkke	1T	V25	1-7
Noras bøtte med godteri	1P	V25	1-8
Omvendt proporsjonal klassefest	2P-Y	V25	1-3
Rasjonale funksjoner Noah og Johanne	1T	V25	2-6
Sylinderboks med minst overflate	1T	V25	2-5
Tredjegradslikning og grafvalg	1T	V25	1-4
Proporsjonalitet fra grafer 2P-Y H25	2P-Y	H25	1-5
Derivasjon og graffortolkning	R1	H25	1-1
Derivasjon og tolkning av stigningstall	S1	H25	1-1
Kostnad, pris og overskudd	S1	H25	2-4
Stykkevis funksjon og deriverbarhet	R1	H25	2-2
Stykkevis funksjon og kontinuitet	S1	H25	2-2
Topp- og bunnpunkter med ln	S1	H25	1-5
Blomsterbed med halvsirkel	1P	H25	2-7
Grafer og fire situasjoner	1P	H25	2-2
Størst mulig rektangel under kurve	1T	H25	2-5
Hytteleie omvendt proporsjonal funksjon	2P-Y	V24	2-1
Lønnsalternativer ved avissalg	1P-Y EL, 1P-Y BA, 1P-Y FD, 1P-Y HS, 1P-Y DT, 1P-Y IM, 1P-Y NA, 1P-Y RM, 1P-Y SR, 1P-Y TP	V25	2-5
Modell for reduksjon av utslipp Modell for reduksjon av utslipp	2P-Y, 2P	V25	2-1

Oppgave	Fag	År	Oppg
Netflix-inntekter og integral	S2	H20	2-1
Sauevekt og normalfordeling	S2	V21	1-7
Virussmitte og logistisk modell	S2	H21	2-4
Immunitet og logistisk modell	S2	V22	2-1
Gjennomsnitt med algoritme og program	R1	V23	2-7
Grafens lengde med polylinje	R2	V23	2-6
Omdreiingslegeme til trigonometrisk funksjon	R2	V23	2-5
Tangens, derivert og integral	R2	V23	1-2
To bestemte integraler	R2	V23	1-1
Regresjon på størrelsen av det norske musikkstrømmemarkedet	S2, R2	V23	2-2
Bestemt integral	S2	E22	1-1a
Ubestemt integral	S2	E22	1-1b
Bestemt integral 2	S2	V23	1-1
Areal under graf med programmering	1T	V23	2-4
Rart integral	S2, R2	Ingen	Ingen
Areal mellom cosinus og sinus	R2	H23	1-2
Volum av tønne ved integrasjon	R2	H23	2-3
Bestemt integral 3	S2, R2	H23	1-1
Ukjent program h23	S2, R2	H23	1-4
Bestemt integral og areal	S2, R2	V24	1-1
Ubestemt integral med substitusjon	R2	V24	1-2
Ubestemt integral v24	S2	V24	1-2
Volum av pære med omdreiningslegeme	R2	V24	2-2
Logistisk vekst for et produkt	S2	V24	2-1
Integral med delvis integrasjon og trigonometri	R2	H24	1-1
Jordbær som omdreiningslegeme	R2	H24	2-3
Omdreiningslegeme av sirkel om y-aksen	R2	H24	2-6
Russebil med trigonometrisk fartsfunksjon	R2	H24	2-4
Vurder påstander om rekke, plan og areal	R2	H24	2-2
Integral med ukjent grense	S2	H24	1-1b-c
Marcos logistiske løpetrening	S2	H24	2-1
Påstand om områder avgrenset av grafer	S2	H24	2-3b
Ubestemt integral h24	S2	H24	1-1a
Harens fart og gjennomsnittsfart	R2	V25	2-3
Bestem f ut fra den deriverte	S2, R2	V25	1-2
Integraler S2 v25	S2, R2	V25	1-1
Vis at rekke blir ln 2	S2, R2	V25	2-5
Programmering og numerisk integrasjon	R2	H25	2-4
Sinusmodell for elektrisk spenning	R2	H25	2-2
Ubestemt integral med delvis integrasjon	R2	H25	1-1
Volum av omdreiningslegeme – kopp	R2	H25	1-2
Ubestemt integral S2 H2025	S2	H25	1-1
Tolkning av integral og areal fra graf Tolkning av integral og areal fra graf	S2, R2	H25	1-3

Sum av integralrekke

Relatert

Tilfeldige oppgaver i samme fag

Lignende oppgaver sortert etter tema

Rekker

Uendelig rekke

Utforskning

Funksjoner

Integral