Aritmetisk sum og uendelig geometrisk rekke
Oppgave
- Bestem summen av den aritmetiske rekken
\[-8 - 3 + 2 + 7 + \cdots + 987 \]
Oppgave
- Begrunn at den uendelige geometriske rekken nedenfor konvergerer, og bestem summen av rekken
\[80 - 20 + 5 - \frac{5}{4} + \cdots \]
Fasit
a) \(s_{200} = 97\,900\)
b) \(s = 64\)
Løsningsforslag
Dette løsningsforslaget er laget av KI og er ikke kvalitetssikret.
a
Vi har en aritmetisk rekke med \(a_1 = -8\) og differanse \(d = -3 - (-8) = 5\).
Vi finner antall ledd \(n\):
\[a_n = a_1 + (n-1) \cdot d
\]
\[987 = -8 + (n-1) \cdot 5
\]
\[995 = (n-1) \cdot 5
\]
\[n - 1 = 199 \implies n = 200
\]
Vi bruker summeformelen:
\[s_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n = \frac{-8 + 987}{2} \cdot 200 = \frac{979}{2} \cdot 200
\]
\[\underline{\underline{s_{200} = 97\,900}}
\]
b
Vi har en geometrisk rekke med \(a_1 = 80\) og kvotient
\[k = \frac{-20}{80} = -\frac{1}{4}
\]
Siden \(|k| = \dfrac{1}{4} < 1\), konvergerer rekken.
Summen av en uendelig geometrisk rekke er
\[s = \frac{a_1}{1 - k} = \frac{80}{1 - \left(-\dfrac{1}{4}\right)} = \frac{80}{\dfrac{5}{4}} = 80 \cdot \frac{4}{5}
\]
\[\underline{\underline{s = 64}}
\]