Aritmetisk mur
Oppgave
- Forklar hva det vil si at en rekke \(a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}\) er aritmetisk.
- En murer skal lage en mur slik figuren viser. Bruk teorien om rekker til å bestemme hvor mange murstein mureren trenger, når han vet at det er totalt 20 rader med murstein.
Fasit
a) –
b) 210
Løsningsforslag
Dette løsningsforslaget er laget av KI og er ikke kvalitetssikret.
a
En rekke \(a_1 + a_2 + \cdots + a_n\) er aritmetisk dersom differansen mellom to etterfølgende ledd er konstant, det vil si at
\[a_{k+1} - a_k = d \quad \text{for alle } k \]
der \(d\) kalles den konstante differansen. Ledd nummer \(n\) kan da skrives som
\[a_n = a_1 + (n-1) \cdot d \]
Summen av de \(n\) første leddene er
\[S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n \]
b
Fra figuren ser vi at øverste rad har 1 murstein, neste rad har 2, og slik fortsetter det slik at rad nummer \(k\) har \(k\) murstein. Med 20 rader får vi rekken
\[1 + 2 + 3 + \cdots + 20 \]
Dette er en aritmetisk rekke med \(a_1 = 1\), \(d = 1\) og \(n = 20\).
Siste ledd:
\[a_{20} = 1 + (20 - 1) \cdot 1 = 20 \]
Summen:
\[S_{20} = \frac{a_1 + a_{20}}{2} \cdot n = \frac{1 + 20}{2} \cdot 20 = \frac{21}{2} \cdot 20 = \underline{\underline{210}} \text{ murstein} \]