Oppgaven er hentet fra eksamen S2 H19 del 1 oppgave 7.

Insektskader på epletrær

En bestemt type insekt kan skade barken på et epletre.

La \(X\) være antall skader som slike insekter har påført barken på et tilfeldig valgt epletre. På en bestemt eplegård er sannsynlighetsfordelingen til \(X\) gitt i tabellen nedenfor.

\(k\)	0	1	2	3	4
\(P(X = k)\)	0,45	0,30	0,10	0,10	0,05

Oppgave

Bestem forventningsverdien \(\text{E}(X)\). Hva forteller \(\text{E}(X)\) oss i denne situasjonen?
Vis at \(\text{Var}(X) = 1{,}4\).

På eplegården velger vi tilfeldig ut 400 epletrær og nummererer dem fra 1 til 400. Vi lar \(X_i\) være antall insektskader på tre nummer \(i\). Vi antar at \(X_i\)-ene er uavhengige.

Det totale antallet insektskader som finnes på de 400 trærne, er da gitt ved den stokastiske variabelen

\[S = X_1 + X_2 + \cdots + X_{400} \]

Oppgave

Begrunn at \(S\) er tilnærmet normalfordelt.
Bestem \(\text{E}(S)\) og \(\text{Var}(S)\).

Ved tilsyn på en eplegård blir 50 tilfeldig valgte trær kontrollert. Dersom det i gjennomsnitt er mer enn 1,2 skader per tre, får eplegården pålegg om å sette i verk tiltak.

På en bestemt eplegård er \(Y\) det totale antallet insektskader på 50 tilfeldig valgte trær. Egne undersøkelser viser at \(\mu_Y = 50\) og \(\sigma_Y = 8\).

Oppgave

Bestem sannsynligheten for at denne eplegården må sette i verk tiltak dersom de får tilsyn.

Fasit

a) \(\text{E}(X) = 1\)
b) Se løsningsforslag
c) \(\text{E}(S) = 400\), \(\text{Var}(S) = 560\)
d) \(P \approx 0{,}106\)

Løsningsforslag

Dette løsningsforslaget er laget av KI og er ikke kvalitetssikret.

a

\[\text{E}(X) = 0 \cdot 0{,}45 + 1 \cdot 0{,}30 + 2 \cdot 0{,}10 + 3 \cdot 0{,}10 + 4 \cdot 0{,}05 \]

\[= 0 + 0{,}30 + 0{,}20 + 0{,}30 + 0{,}20 = \underline{\underline{1{,}0}} \]

\(\text{E}(X) = 1\) betyr at vi i gjennomsnitt forventer én insektskade per epletre.

b

\[\text{E}(X^2) = 0^2 \cdot 0{,}45 + 1^2 \cdot 0{,}30 + 2^2 \cdot 0{,}10 + 3^2 \cdot 0{,}10 + 4^2 \cdot 0{,}05 \]

\[= 0 + 0{,}30 + 0{,}40 + 0{,}90 + 0{,}80 = 2{,}4 \]

\[\text{Var}(X) = \text{E}(X^2) - [\text{E}(X)]^2 = 2{,}4 - 1^2 = \underline{\underline{1{,}4}} \]

c

Ifølge sentralgrensesetningen er \(S = X_1 + X_2 + \cdots + X_{400}\) tilnærmet normalfordelt når \(n = 400\) er tilstrekkelig stort (og \(X_i\)-ene er uavhengige og identisk fordelt).

\[\text{E}(S) = 400 \cdot \text{E}(X) = 400 \cdot 1 = \underline{\underline{400}} \]

\[\text{Var}(S) = 400 \cdot \text{Var}(X) = 400 \cdot 1{,}4 = \underline{\underline{560}} \]

d

Eplegården må sette i verk tiltak dersom gjennomsnittet er mer enn \(1{,}2\) skader per tre, altså dersom \(Y > 50 \cdot 1{,}2 = 60\).

\(Y\) er tilnærmet normalfordelt med \(\mu_Y = 50\) og \(\sigma_Y = 8\).

\[z = \frac{60 - 50}{8} = 1{,}25 \]

\[P(Y > 60) = 1 - \Phi(1{,}25) = 1 - 0{,}8944 = \underline{\underline{0{,}106}} \]

Det er omtrent 10{,}6 % sannsynlighet for at eplegården får pålegg om tiltak.

Relatert

Tilfeldige oppgaver i samme fag

Det er ofte best å blande hvilke type oppgaver man gjør dersom du skal forberede deg til en prøve eller eksamen. Her er tre tilfeldige oppgaver i S2.

Lignende oppgaver sortert etter tema

Forventningsverdi

Oppgave	Fag	År	Oppg
Terningspill med to terninger	S2	V19	1-7
Tomatfrø og normalfordeling	S2	H20	1-7
Torskefileter i poser	S2	V22	1-7
Forventningsverdi og varians fra sannsynlighetsfordeling S2	S2	V23	1-3
Forventningsverdi og varians fra diskret sannsynlighetsfordeling	S2	E22	1-4
Levetiden til lyspærer	S2	E22	2-2
Tunge kuler i kasse	S2	H23	1-5
Hildes terningkast	S2	V24	1-6
Sannsynlighetsfordeling til brettspill	S2	V25	1-3
Sannsynlighet for poengtap ved poengspill	S2	H25	1-4
Binomisk fordeling - billettkontroll S2 V26	S2	V26	1-4
Simulering av antall terningkast for å få samme antall øyne i to kast på rad Simulering av antall terningkast for å få samme antall øyne i to kast på rad	S2	H25	2-6

Varians

Oppgave	Fag	År	Oppg
Torskefileter i poser	S2	V22	1-7
Forventningsverdi og varians fra sannsynlighetsfordeling S2	S2	V23	1-3
Forventningsverdi og varians fra diskret sannsynlighetsfordeling	S2	E22	1-4
Tunge kuler i kasse	S2	H23	1-5
Varians i diskret sannsynlighetsfordeling	S2	H24	1-3
Sannsynlighetsfordeling til brettspill	S2	V25	1-3
Sannsynlighet for poengtap ved poengspill	S2	H25	1-4
Binomisk fordeling - billettkontroll S2 V26	S2	V26	1-4

Normalfordeling

Oppgave	Fag	År	Oppg
Normalfordeling med ukjente parametere	S2	V19	1-8
Løpstid til Krigsskolen	S2	H19	2-3
Gule drops i poser	S2	V20	1-7
Levetid til temperaturfølere	S2	H20	2-3
Tomatfrø og normalfordeling	S2	H20	1-7
Bruddstyrke fiskesene	S2	V21	2-3
Sauevekt og normalfordeling	S2	V21	1-7
Selvbetjeningskasse og hypotesetest	S2	H21	2-3
Kaffefabrikken og hypotesetest	S2	V22	2-2
Torskefileter i poser	S2	V22	1-7
Sjokoladeplater og hypotesetest	S2	H22	2-3
Bestem forventningsverdi og standardavvik fra prosenter	S2	E22	1-5
Levetiden til normalfordelte batterier	S2	V23	1-6
Simulere uttrekk av elevers karakter fra tilfeldig normalfordelt skole	S2	V23	2-5
Forventningsverdi og varians fra graf av normalfordeling	S2	H13	1-2
Hypotesetest om russetid	S2	V19	2-5
Lykkehjulet	S2	H22	1-8
Normalfordelt intelligens	S2	E15	1-8
Normalfordelte hjortebukker	S2	V15	1-7
Simuler sannsynlighet for høyde over 175 cm	S2	E22	2-6
Normalfordelte vinterdekk	S2	H23	2-3
Simuler sannsynlighet for høyden til 24 måneder gammelt barn	S2	H23	2-5
Hildes terningkast	S2	V24	1-6
Normalfordelt laks	S2	V24	1-4
Figurer som viser normalfordeling	S2	H24	1-4
Vekten til poteter	S2	H21	1-6
Hypotesetest bensin	S2	V25	1-6
Normalfordelt hoppkonkurranse	S2	V25	2-2
Finn riktig graf for normalfordelingene	S2	H25	1-5
Hypotesetest - vannflasker S2 V26	S2	V26	1-5
Programmering og normalfordeling - simulering S2 V26	S2	V26	1-7

Sannsynlighet

Oppgave	Fag	År	Oppg
Terningspill med to terninger	S2	V19	1-7
Gule drops i poser	S2	V20	1-7
Tomatfrø og normalfordeling	S2	H20	1-7
Bruddstyrke fiskesene	S2	V21	2-3
Sauevekt og normalfordeling	S2	V21	1-7
Torskefileter i poser	S2	V22	1-7
Bestem forventningsverdi og standardavvik fra prosenter	S2	E22	1-5
Hypotesetest med terninger	S2	E22	2-3
Forventningsverdi og varians fra sannsynlighetsfordeling S2	S2	V23	1-3
Levetiden til normalfordelte batterier	S2	V23	1-6
Simulere uttrekk av elevers karakter fra tilfeldig normalfordelt skole	S2	V23	2-5
Billetter til fotballkamp	S1	V23	2-5
Kuler i krukke hypergeometrisk	S1	V23	1-4
Sannsynligheter ved lottospill	S1	V23	2-2c
Forventningsverdi og varians fra diskret sannsynlighetsfordeling	S2	E22	1-4
Lykkehjulet	S2	H22	1-8
Normalfordelt intelligens	S2	E15	1-8
Normalfordelte hjortebukker	S2	V15	1-7
Levetiden til lyspærer	S2	E22	2-2
Simuler sannsynlighet for høyde over 175 cm	S2	E22	2-6
Sannsynlighet med fem terninger	S1	H23	2-4
Sannsynlighet med tre terninger	S1	H23	1-3
Venstrehendte elever	S1	H23	2-2
Ukjent program Mønster v23	S2	Ingen	1-5
Tunge kuler i kasse	S2	H23	1-5
Normalfordelte vinterdekk	S2	H23	2-3
Kuler i boks og hypergeometrisk sannsynlighet	S1	V24	2-4
Sokker trukket fra skuff	S1	V24	1-4
Terninger – alle ulike og simulering	S1	V24	2-5
Sveins kurv med baller Sveins kurv med baller	S2	V24	2-5
Antrekk og sannsynlighet hos Drakt og Søm	S1	H24	2-1
Knekkebrød, gavekort og simulering	S1	H24	2-4
Sannsynlighet for covid med positiv test	S1	H24	2-7
Sannsynlighet for kulefarge	S1	H24	1-5
Hypergeometrisk hypotesetest	S2	H24	2-2
Vekten til poteter	S2	H21	1-6
Normalfordelt hoppkonkurranse	S2	V25	2-2
Hengelåskode og simulering	S1	V25	2-1
Kombinatorikk med elever i arbeidsgruppe	S1	V25	2-3
Sannsynlighet for skytter Arne Treff	S1	V25	1-5
Valgresultat og binomisk sannsynlighet	S1	V25	2-4
Einars straffesparkkonkurranse	S1	H25	1-6
Sannsynlighet med drops	S1	H25	2-3
Terningspill og forventningsverdi	S1	H25	2-6
Hypotesetester om komponenter som er defekte	S2	H25	2-3
Sannsynlighet for poengtap ved poengspill	S2	H25	1-4
Binomisk sannsynlighet og fremmedspråk S1 V26	S1	V26	1-7
Romfordeling og kombinatorikk på hyttetur S1 V26	S1	V26	1-8
Sommervikarer og hypergeometrisk sannsynlighet S1 V26	S1	V26	2-2
Terningspill med simulering S1 V26	S1	V26	2-5
Simulering av antall terningkast for å få samme antall øyne i to kast på rad Simulering av antall terningkast for å få samme antall øyne i to kast på rad	S2	H25	2-6