Kombinatorikk med elever i arbeidsgruppe
Ti elever skriver navnet sitt på hver sin lapp. Elevene legger de ti lappene i en hatt. Fra hatten trekkes fire lapper tilfeldig. De fire elevene som trekkes ut, skal være med i en arbeidsgruppe.
- På hvor mange mulige måter kan arbeidsgruppen settes sammen?
Sju av de ti elevene er jenter. Resten er gutter.
- Bestem sannsynligheten for at minst to gutter blir med i arbeidsgruppen.
Emma og Marie er to av jentene.
- Bestem sannsynligheten for at bare én av de to jentene blir med i arbeidsgruppen.
a) \(\underline{\underline{210 \text{ måter}}}\)
b) \(\underline{\underline{P(\text{minst 2 gutter}) = \dfrac{1}{3} \approx 33{,}3\,\%}}\)
c) \(\underline{\underline{P(\text{nøyaktig 1 av Emma/Marie}) = \dfrac{8}{15} \approx 53{,}3\,\%}}\)
Vi bruker GeoGebra CAS til å beregne binomialkoeffisientene.
a
Vi skal velge 4 elever fra 10 uten hensyn til rekkefølge. Antall måter er gitt ved binomialkoeffisienten
Det er \(\underline{\underline{210}}\) mulige måter å sette sammen arbeidsgruppen på.
b
Vi søker \(P(\text{minst 2 gutter})\). Det er lettest å bruke komplementregelen:
Det er 3 gutter og 7 jenter blant de 10 elevene.
P(0 gutter): Alle 4 velges blant de 7 jentene.
P(1 gutt): Én gutt velges blant 3, tre jenter velges blant 7.
P(minst 2 gutter):
Sannsynligheten for at minst to gutter blir med i arbeidsgruppen er \(\underline{\underline{\dfrac{1}{3} \approx 33{,}3\,\%}}\).
c
Vi skal finne sannsynligheten for at nøyaktig én av de to jentene Emma og Marie blir med.
Vi deler de 10 elevene i to grupper: {Emma, Marie} (2 elever) og de øvrige 8 elevene.
Nøyaktig én av Emma/Marie betyr at vi velger 1 fra {Emma, Marie} og 3 fra de resterende 8.
Sannsynligheten for at bare én av de to jentene blir med i arbeidsgruppen er \(\underline{\underline{\dfrac{8}{15} \approx 53{,}3\,\%}}\).