Tunge kuler i kasse
I en kasse ligger det tre typer kuler. Disse veier henholdsvis 4 kg, 5 kg og 10 kg. Dersom vi trekker tilfeldig en kule, er sannsynligheten \(\frac{1}{4}\) for at kulen veier 4 kg og \(\frac{1}{2}\) for at den veier 5 kg.
- Vis at \(E(X)=6 \,\text{kg}\). Regn ut variansen til \(X\).
Vi trekker tilfeldig en kule og legger den tilbake igjen. Dette gjør vi to ganger. La \(X_{1}\) være vekten til den første kulen vi trekker, og \(X_{2}\) vekten til den andre kulen vi trekker. La \(Y=X_{1}+X_{2}\).
- Sett opp sannsynlighetsfordelingen til \(Y\).
- Bestem \(P(Y>10)\).
a) \(\mu=6, \sigma=5{,}5\)
b) Se LF
c) \(\frac{7}{16}\)
a
Siden det kun er tre typer kuler så må sannsynligheten for å trekke en kule som veier 10 kg være
Forventningsverdien er summen av produktene av sannsynlighet \(\times\) verdi. Altså:
For å finne variansen må vi finne differansen til gjennomsnittet for hver verdi, kvadrere denne differansen og multiplisere den med sannsynligheten for observasjonsverdien.
| \(x\) | \(E(x)-x\) | \(P(X=x)\) | \((E(x)-x)^{2}\cdot P(X=x)\) |
|---|---|---|---|
| 4 | 2 | \(\frac{1}{4}\) | \(2^{2}\cdot \frac{1}{4}=1\) |
| 5 | 1 | \(\frac{1}{2}\) | \(1^{2}\cdot \frac{1}{2}= \frac{1}{2}\) |
| 10 | 4 | \(\frac{1}{4}\) | \(4^{2}\cdot \frac{1}{4}=4\) |
| Sum | 5,5 |
Jeg har vist at forventningsverdien er 6 kg og at variansen er 5,5 kg.
b
Se valgtreet over. Jeg ser at utfallene for \(Y=X_{1}+X_{2}\) er 8, 9, 10, 14, 15 og 20. Jeg bruker valgtreet til å beregne sannsynligheten for hvert utfall
| \(y\) | \(P(Y=y)\) |
|---|---|
| 8 | \(\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{4}=\frac{1}{16}\) |
| 9 | \(\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{2}\cdot 2=\frac{1}{4}\) |
| 10 | \(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}\) |
| 14 | \(\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} \cdot 2=\frac{1}{8}\) |
| 15 | \(\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{2}\cdot 2=\frac{1}{4}\) |
| 20 | \(\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{16}\) |
c
\(P(Y>10)\) betyr sannsynligheten for at \(Y\) er større 10. Det stemmer når \(Y=14\), \(Y=15\) og \(Y=20\).