Varians i diskret sannsynlighetsfordeling
Tabellen viser sannsynlighetsfordelingen til en stokastisk variabel \(X\).
| \(x\) | 0 | 1 | 4 | \(b\) |
|---|---|---|---|---|
| \(P(X=x)\) | \(0{,}30\) | \(0{,}40\) | \(0{,}10\) | \(0{,}20\) |
\(E(X)=2\).
Vis at \(b=6\), og bestem \(\text{Var}(X)\).
Fasit
\(\mathrm{Var}(X)=4\)
Løsningsforslag
| \(x\) | 0 | 1 | 4 | \(b\) |
|---|---|---|---|---|
| \(P(X=x)\) | \(0{,}30\) | \(0{,}40\) | \(0{,}10\) | \(0{,}20\) |
| \(x \cdot P(X=x)\) | \(0\) | \(0{,}40\) | \(0{,}40\) | \(0{,}20 \cdot b\) |
| \((x-\mu)^{2}\) | \((-2)^2=4\) | \(1^2=1\) | \(2^2=4\) | \(4^{2}=16\) |
| \((x-\mu)^{2} \cdot P(X=x)\) | \(4\cdot 0{,}30 =1{,}2\) | \(1 \cdot 0{,}40=0{,}40\) | \(4 \cdot 0{,}10=0{,}40\) | \(16 \cdot 0{,}20=3{,}2\) |
Vi vet at forventningsverdien er summen av produktene av \(x \cdot P(X=x)\), se rad 2 i tabell 1. Det betyr at
\[0+0{,}40+0{,}40+0{,}20b = 2 \iff 0{,}20 b = 1{,}2 \iff b=6 \]
Vi har vist at \(\underline{\underline{b=6}}\).
Variansen til \(X\) er gitt ved
\[\begin{aligned} \text{Var}(X)&=\sum_{i=1}^{N}\left( ( x_{i}-\mu)^{2}\cdot P(X=x_{i}) \right)\\ \text{Var}(X)&=1{,}2+0{,}40+0{,}40+3{,}2=\underline{\underline{5{,}2}} \end{aligned} \]
Variansen \(\underline{\underline{\mathrm{Var}(X)=5{,}2}}\).