Forventningsverdi og varians fra diskret sannsynlighetsfordeling
En sannsynlighetsfordeling er gitt ved tabellen nedenfor.
| \(x\) | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| \(P(X=x)\) | \(0{,}2\) | \(k\) | \(2k\) | \(5k\) |
Oppgave
- Forklar hvorfor \(k\) må være 0,1. Bestem forventningsverdien \(\text{E}(X)\).
- Bestem variansen \(\text{Var}(X)\)
Fasit
a) \(E(X)=2\)
b) \(Var(X)=1{,}4\)
Løsningsforslag
a
Summen av sannsynlighetene for alle utfallene skal være 1. Vi har dermed at
\[\begin{aligned} 0{,}2+k+2k+5k&=1\\ 8k&=0{,}8\\ k&=0{,}1 \end{aligned} \]
Forventningsverdien er gitt ved
\[\sum x \cdot P(X=x)=0+1\cdot 0{,}1 + 2\cdot 0{,}2 + 3 \cdot 0,5=2{,}0 \]
\(k\) må være lik 0,1 og forventningsverdien \(\text{E}(X)=2\).
b
Variansen til \(X\) er gitt ved
\[Var(X)=\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\mu)^{2} \cdot P(X=x) \]
Dette er enklest å regne ut ved å bruke sannsynlighetsfordelingen:
| \(x\) | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| \(P(X=x)\) | \(0{,}2\) | \(0{,}1\) | \(0{,}2\) | \(0{,}5\) |
| \((x_{i}-\mu)^{2}\) | \((0-2)^{2}=4\) | \((1-2)^{2}=1\) | \((2-2)^{2}=0\) | \((3-2)^{2}=1\) |
| \((x_{i}-\mu)^{2} \cdot P(X=x)\) | \(4 \cdot 0{,}2 = 0{,}8\) | \(1 \cdot 0{,}1=0{,}1\) | \(0\) | \(1 \cdot 0{,}5=0{,}5\) |
Summen av kvadratavvikene er 1,4.
Variansen \(\underline{\underline{\text{Var}(X)=1{,}4}}\).