Kuler i krukke hypergeometrisk
I en krukke ligger det fire hvite og tre svarte kuler. Du trekker tilfeldig tre kuler uten tilbakelegging.
Oppgave
- Hva er sannsynligheten for at to av de tre kulene er svarte?
- Hva er sannsynligheten for at du trekker minst to hvite kuler?
Fasit
a) \(\frac{12}{35}\)
b) \(\frac{22}{35}\)
Løsningsforslag
Dette løsningsforslaget er laget av KI og er ikke kvalitetssikret.
a
Dette er et hypergeometrisk forsøk siden vi har to typer objekter og skal trekke \(k_{1}=2\) av den ene typen og \(k_{2}=1\) av den andre typen
\[\frac{ \binom{n_{1}}{k_{1}}\binom{n_{2}}{k_{2}}}{\binom{n}{k}} = \frac{ \binom{3}{2}\binom{4}{1}}{\binom{7}{3}} = \frac{\frac{3!}{2!\cdot 1!}\cdot4}{\frac{7!}{3!\cdot4!}}=\frac{3\cdot4}{\frac{7\cdot6\cdot 5}{3\cdot2}}=\frac{12\cdot3\cdot2}{210}=\frac{72}{210}=\frac{12}{35} \]
b
La \(X\) være antall hvite kuler. Da er
\[P(X\geq 2)=1-P(X\leq 1)=1-\left( P(X=1) +P(X=0)\right) \]
Vi har allerede bestemt sannsynligheten for \(P(X=1)=\frac{12}{35}\) i oppgave a).
\[P(X=0)=\frac{3}{7}\cdot \frac{2}{6}\cdot \frac{1}{5} = \frac{3\cdot 2}{7\cdot6\cdot 5}=\frac{6}{210}=\frac{1}{35} \]
\[P(X\geq 2)=1-\left( \frac{12}{35}+\frac{1}{35} \right)=1- \frac{13}{35}=\underline{\underline{\frac{22}{35}}} \]