Sveins kurv med baller
Svein har en kurv med røde og blå baller. Det er like mange baller av hver farge i kurven. Svein tar 15 baller tilfeldig fra kurven. Han ser etterpå at han trakk 9 røde og 6 blå baller.
- Bestem sannsynligheten for at han får dette resultatet dersom han starter med 30 baller i kurven.
- Hva er det mest sannsynlige antallet baller som lå i kurven?
a) 16,1 %
b) 34 eller 36 baller
a
Vi har et forsøk uten tilbakelegging med to typer baller, så vi kan bruke en hypergeometrisk sannsynlighetsfordeling. Hvis det er 15 baller av hver type er sannsynligheten for å trekke 9 røde og 6 blå baller gitt ved
Sannsynligheten for å trekke 9 røde og 6 blå baller er 16,1 %.
b
Løsningsmetode 1: Programmering
Her prøver jeg meg fram med programmering og setter inn ulike verdier for antallet baller i kurva. Man kan programmere binomialkoeffisientfunksjonen selv, eller bruke en ferdig funksjon fra math-biblioteket.
import math #math.comb er binomialkoeff.funksjonen
rod = 9
bla = 6
for n in range(18, 201, 2):
# lager ei løkke som tester alle partall fra 18 til og med 200
n1 = int(n/2) # halvparten av ballene er røde (må gjøre om til heltall)
teller = math.comb(n1, rod) * math.comb(n1, bla)
nevner = math.comb(n, (rod+bla))
ssh = teller / nevner
print(f"Ved {n} baller P(R=9) = {ssh:.5f}")
Utskriften forteller meg at det mest sannsynlige antallet baller i kurven er 34 eller 36.
I mitt løsningsforslag har jeg gått ut fra at krukka inneholder \(n\) baller. Det er nok lurere å si at det er \(n\) røde baller i krukka, og at krukka samlet sett inneholder \(2n\) baller. Da slipper du å gjøre om \(\frac{n}{2}\) til heltall med int().
Løsningsmetode 2: Funksjon
Jeg lager en funksjon hvor antall baller i kurva er ukjent.
Denne funksjonen er egentlig bare gyldig for partallene fra 18 og oppover, men jeg velger å tegne den uten begrensning i GeoGebra for å kunne finne ekstremalpunkter enkelt.
Jeg definerer funksjonen i CAS og finner ekstremalpunktet, se linje 1 og 2. Ekstremalpunktet ligger ved \(x=34{,}96\), dette er ikke en gyldig verdi for \(x\). Jeg tester derfor sannsynligheten ved \(x=34\) og \(x=36\), begge disse er like store.
Det lå mest sannsynlig 34 eller 36 baller i kurven.