Oppgaven er hentet fra eksamen S2 E22 del 2 oppgave 2.

Levetiden til lyspærer

Levetiden \(T\) i timer til en tilfeldig lyspære av en bestemt type er en stokastisk variabel. Det viser seg at

\[P(T\leq t)= \int_{-\infty}^{t} f(x) \, \mathrm{d}x \]

der tetthetsfunksjonen \(f\) er gitt ved

\[f(t)=\begin{cases} k\cdot e^{-0{,}005t}\text{,} \quad & t>0 \\ 0\text{,} & t\leq 0 \end{cases} \]

Oppgave

Vis at \(k=0{,}005\).
Hva er sannsynligheten for at lyspærens levetid er mer enn 400 timer?

Forventningsverdien \(\mu\) til en kontinuerlig stokastisk variabel med tetthetsfunksjonen \(f\) er gitt ved

\[\mu=\int_{-\infty}^{\infty} x\cdot f(x) \, \mathrm{d}x \]

Oppgave

Bestem forventningsverdien til \(T\).

Fasit

a) Løs likningen \(\int_{0}^{\infty} k\cdot e^{-0{,}005t} \, dt=1\)
b) \(\frac{1}{e^{2}}\)
c) 200

Løsningsforslag

a

Siden \(f(t)=0\) når \(t\leq 0\) så vil

\[\int_{- \infty}^{0} f(t) \, dt =0 \]

Vi trenger derfor kun å bry oss tilfellet hvor \(t>0\).

Vi vet at et krav til sannsynlighetsfordelinger er at summen av alle sannsynlighetene skal bli 1. For kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger har vi altså

\[\int_{- \infty}^{\infty} f(x) \, dx =1 \]

I vårt tilfelle ønsker vi altså å bestemme \(k\) slik at den tilfredsstiller likningen

\[\int_{0}^{\infty} k \cdot e^{-0{,}005t} \, dt = 1 \]

Vi kan løse denne i GeoGebra eller vi kan integrere for hånd:

\[\begin{aligned} \left[ \frac{k}{-0.005} \cdot e^{-0.005t} \right]_{0}^{\infty}&=1 \\ \left( \frac{k}{-0.005} \cdot 0 \right)-\left( \frac{k}{-0.005} \cdot 1 \right) &= 1\\ \frac{-k}{-0.005}&=1\\ k&=0.005 \end{aligned} \]

Jeg har vist at \(k=0{,}005\)

b

Jeg kan bruke integralet av tetthetsfunksjonen til å beregne sannsynligheten. Sannsynligheten for at lyspæras levetid er mellom 0 og 400 timer er gitt ved

\[\int_{0}^{400} 0{,}005 \cdot e^{-0{,}005t} \, dt = 1-\frac{1}{e^{2}} \]

Siden summen av sannsynlighetene for alle utfallene er 1 så kan vi finne sannsynligheten for at lyspæra varer mellom 400 og uendelig timer ved å ta

\[1-\left( 1-\frac{1}{e^{2}} \right)=\frac{1}{e^2} \]

Sannsynligheten for at lyspæras levetid er mer enn 400 timer er \(\frac{1}{e^{2}} \approx 0{,}135\).

c

Jeg bruker uttrykket for forventningsverdi som står i oppgaveteksten og beregner ved hjelp av GeoGebra:

\[\mu_{T} = \int_{0}^{\infty} t \cdot 0{,}005 \cdot e^{-0{,}005t} \, dt = 200 \]

Forventningsverdien for \(T\) er \(\mu_{T}=200\) timer.

Relatert

Tilfeldige oppgaver i samme fag

Det er ofte best å blande hvilke type oppgaver man gjør dersom du skal forberede deg til en prøve eller eksamen. Her er tre tilfeldige oppgaver i S2.

Lignende oppgaver sortert etter tema

Kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger

Oppgave	Fag	År	Oppg
Levetiden til normalfordelte batterier	S2	V23	1-6
Simulere uttrekk av elevers karakter fra tilfeldig normalfordelt skole	S2	V23	2-5

Forventningsverdi

Oppgave	Fag	År	Oppg
Terningspill med to terninger	S2	V19	1-7
Insektskader på epletrær	S2	H19	1-7
Tomatfrø og normalfordeling	S2	H20	1-7
Torskefileter i poser	S2	V22	1-7
Forventningsverdi og varians fra sannsynlighetsfordeling S2	S2	V23	1-3
Forventningsverdi og varians fra diskret sannsynlighetsfordeling	S2	E22	1-4
Tunge kuler i kasse	S2	H23	1-5
Hildes terningkast	S2	V24	1-6
Sannsynlighetsfordeling til brettspill	S2	V25	1-3
Sannsynlighet for poengtap ved poengspill	S2	H25	1-4
Simulering av antall terningkast for å få samme antall øyne i to kast på rad Simulering av antall terningkast for å få samme antall øyne i to kast på rad	S2	H25	2-6

Sannsynlighet

Oppgave	Fag	År	Oppg
Terningspill med to terninger	S2	V19	1-7
Insektskader på epletrær	S2	H19	1-7
Gule drops i poser	S2	V20	1-7
Tomatfrø og normalfordeling	S2	H20	1-7
Bruddstyrke fiskesene	S2	V21	2-3
Sauevekt og normalfordeling	S2	V21	1-7
Torskefileter i poser	S2	V22	1-7
Bestem forventningsverdi og standardavvik fra prosenter	S2	E22	1-5
Hypotesetest med terninger	S2	E22	2-3
Forventningsverdi og varians fra sannsynlighetsfordeling S2	S2	V23	1-3
Levetiden til normalfordelte batterier	S2	V23	1-6
Simulere uttrekk av elevers karakter fra tilfeldig normalfordelt skole	S2	V23	2-5
Billetter til fotballkamp	S1	V23	2-5
Kuler i krukke hypergeometrisk	S1	V23	1-4
Sannsynligheter ved lottospill	S1	V23	2-2c
Forventningsverdi og varians fra diskret sannsynlighetsfordeling	S2	E22	1-4
Lykkehjulet	S2	H22	1-8
Normalfordelt intelligens	S2	E15	1-8
Normalfordelte hjortebukker	S2	V15	1-7
Simuler sannsynlighet for høyde over 175 cm	S2	E22	2-6
Sannsynlighet med fem terninger	S1	H23	2-4
Sannsynlighet med tre terninger	S1	H23	1-3
Venstrehendte elever	S1	H23	2-2
Ukjent program Mønster v23	S2	Ingen	1-5
Tunge kuler i kasse	S2	H23	1-5
Normalfordelte vinterdekk	S2	H23	2-3
Kuler i boks og hypergeometrisk sannsynlighet	S1	V24	2-4
Sokker trukket fra skuff	S1	V24	1-4
Terninger – alle ulike og simulering	S1	V24	2-5
Sveins kurv med baller Sveins kurv med baller	S2	V24	2-5
Antrekk og sannsynlighet hos Drakt og Søm	S1	H24	2-1
Knekkebrød, gavekort og simulering	S1	H24	2-4
Sannsynlighet for covid med positiv test	S1	H24	2-7
Sannsynlighet for kulefarge	S1	H24	1-5
Hypergeometrisk hypotesetest	S2	H24	2-2
Vekten til poteter	S2	H21	1-6
Normalfordelt hoppkonkurranse	S2	V25	2-2
Hengelåskode og simulering	S1	V25	2-1
Kombinatorikk med elever i arbeidsgruppe	S1	V25	2-3
Sannsynlighet for skytter Arne Treff	S1	V25	1-5
Valgresultat og binomisk sannsynlighet	S1	V25	2-4
Einars straffesparkkonkurranse	S1	H25	1-6
Sannsynlighet med drops	S1	H25	2-3
Terningspill og forventningsverdi	S1	H25	2-6
Hypotesetester om komponenter som er defekte	S2	H25	2-3
Sannsynlighet for poengtap ved poengspill	S2	H25	1-4
Simulering av antall terningkast for å få samme antall øyne i to kast på rad Simulering av antall terningkast for å få samme antall øyne i to kast på rad	S2	H25	2-6

Bevis

Oppgave	Fag	År	Oppg
Bevis for grenseverdien til sin v delt på v	R2	V23	1-5
Cauchys middelverdisetning	R1	H23	2-6
Likesidet trekant og cos 60°	1T	H23	1-1
Pentagontall rekursiv og induksjon	R2	H23	2-2
Vektorfunksjoner og smygplan	R2	H23	2-5
Trigonometri i rettvinklet trekant	1T	V24	1-1
Kubikktall og induksjonsbevis	R2	V24	2-4
Vis at enhetskostnad er like grensekostnad ved laveste enhetskostnad	S2	V24	1-5
Omdreiningslegeme av sirkel om y-aksen	R2	H24	2-6
Tallfølge med programmering og induksjon	R2	V25	1-3
Vis at rekke blir ln 2	S2, R2	V25	2-5
Induksjonsbevis for geometrisk rekke	R2	H25	1-8