Omdreiningslegeme av sirkel om y-aksen
En sirkel har sentrum i \(S(a, 0)\) og har radius \(R < a\). Sirkelen roteres om \(y\)-aksen.
Vis at volumet av omdreiningslegemet blir \(2\pi^2 R^2 a\).
\(V = 2\pi^2 R^2 a\) (bevis)
For å gjøre jobben enklere for meg selv så vil jeg flytte sirkelen fra \(S(a,0)\) til \(S^*(0,a)\) og rotere sirkelen om \(x\)-aksen istedenfor om \(y\)-aksen. Sirkelens radius er fremdeles \(R< a\).
En sirkel har likningen \(x^{2}+y^{2}=R^{2}\), eller omskrevet for \(y\) får vi
Der den positive løsningen vil gi oss den øvre halvsirkelen, og den negative løsningen gir oss den nedre halvsirkelen.
Vår sirkel er forskjøvet med \(a\) enheter i positiv \(y\)-retning, derfor er uttrykket for sirkelen vår
Vi kan bruke formelen for omdreiningslegeme for å finne volumet. Vi bruker først formelen for den øvre halvsirkelen og finner dermed volumet av en slags smultring uten hull. Deretter lager vi et hull i smultringen ved å trekke fra volumet av omdreiningslegemet definert av den nedre halvsirkelen.
Formelen for 360º omdreining rundt \(x\)-aksen er
Grensene for integrasjonen er \(x=-R\) og \(x=R\).
\(R\) er positiv, så vi har \(\text{sgn}(R)=1\) i vårt tilfelle (se faktaboks lenger nede for mer info).
Volumet av omdreiningslegemet er \(2\pi^{2} R^{2}a\), som skulle vises.
GeoGebra gir oss en litt ukjent sgn(R)-funksjon i tillegg til uttrykket vi skulle finne. sgn()-funksjonen er definert slik >
Hvis du møter på slike ukjente funksjoner på eksamen, prøv å skrive inn sgn(2) og sgn(-5) i GeoGebra og sjekk hva du får som svar, eller forsøk å tegne funksjonen.