Bevis at ortogonale vektorer oppfyller Pytagoras R2 V26
Dersom to vektorer \(\vec p\) og \(\vec q\) er ortogonale, er
En elev prøver å bevise påstanden ovenfor.
\(\vec p = [4, 0, 0]\)
\(\vec q = [0, 0, 3]\)
Da er
og
Altså er påstanden riktig.
- Forklar hvorfor dette ikke er et gyldig matematisk bevis for påstanden.
- Bevis påstanden ved hjelp av vektorregning.
a) Elevens bevis tester kun ett spesialtilfelle – et eksempel kan ikke bevise en generell påstand.
b) \(|\vec{p} + \vec{q}|^2 = |\vec{p}|^2 + |\vec{q}|^2\) følger av at \(\vec{p} \cdot \vec{q} = 0\) når \(\vec{p} \perp \vec{q}\).
a
Elevens bevis sjekker påstanden kun for de to konkrete vektorene \(\vec{p} = [4, 0, 0]\) og \(\vec{q} = [0, 0, 3]\). Et enkelt eksempel kan aldri bevise at en påstand gjelder for alle ortogonale vektorer. Et eksempel kan motbevise en generell påstand, men aldri bevise den.
For at beviset skal holde, må det vises at påstanden gjelder for vilkårlige ortogonale vektorer \(\vec{p}\) og \(\vec{q}\).
b
Vi antar at \(\vec{p}\) og \(\vec{q}\) er to vilkårlige ortogonale vektorer, dvs. \(\vec{p} \perp \vec{q}\).
Fordi vektorene er ortogonale, er skalarproduktet mellom dem lik null:
For en vilkårlig vektor \(\vec{a}\) gjelder at \(|\vec{a}|^2 = \vec{a} \cdot \vec{a}\). Vi beregner \(|\vec{p} + \vec{q}|^2\):
Dermed er \(|\vec{p} + \vec{q}|^2 = |\vec{p}|^2 + |\vec{q}|^2\) bevist for alle ortogonale vektorer \(\vec{p}\) og \(\vec{q}\).