Logaritme- og binomialpåstander
Avgjør om hver av påstandene nedenfor er sann eller usann. Forklar tydelig hvordan du har resonnert.
- Påstand:
\[\text{Når } x > 0 \text{, er } e^{k \cdot \ln(x)}=x^{k} \]
b) Påstand:
\[\text{Når } 1 < a < \dfrac{b}{2} \text{, er } \binom{b}{a+1} > \binom{b}{a} \]
a) Sann
b) Usann
a
Vi skal avgjøre om \(e^{k \cdot \ln(x)} = x^k\) for \(x > 0\).
Bevis med logaritmeregler:
Vi bruker logaritmeregelen \(k \cdot \ln(x) = \ln(x^k)\):
Det siste steget bruker at \(e^{\ln(u)} = u\) for \(u > 0\).
Alternativt bevis med potensregler:
Her brukes potensregelen \((a^m)^n = a^{mn}\) og \(e^{\ln(x)} = x\).
Påstanden er \(\underline{\underline{\text{sann}}}\).
b
Vi skal avgjøre om \(\binom{b}{a+1} > \binom{b}{a}\) når \(1 < a < \dfrac{b}{2}\).
Analyse av forholdet:
Vi beregner forholdet mellom de to binomialkoeffisientene:
Påstanden sier at \(\binom{b}{a+1} > \binom{b}{a}\), dvs. at forholdet er strengt større enn 1:
Så påstanden holder bare når \(a < \dfrac{b-1}{2}\), men betingelsen i oppgaven er den svakere \(a < \dfrac{b}{2}\).
Motbevis:
La \(b = 5\) og \(a = 2\). Da er \(1 < 2 < \dfrac{5}{2} = 2{,}5\), så betingelsen er oppfylt.
Her er \(\binom{5}{3} = \binom{5}{2}\), altså ikke strengt større. Påstanden er motbevist.
Påstanden er \(\underline{\underline{\text{usann}}}\).