Vurder påstander om funksjoner
Avgjør om hver enkelt påstand nedenfor er sann eller usann. Forklar tydelig hvordan du har resonnert.
- Påstand: Den gjennomsnittlige vekstfarten til funksjonen \(f(x) = x^2 + 2\) i intervallet \([1, 4]\) er 5.
- Påstand: Hvis \(\lim_{x\to\infty} f(x) = \lim_{x\to\infty} g(x)\) og \(\lim_{x\to-\infty} f(x) = \lim_{x\to-\infty} g(x)\), så er \(f(x) = g(x)\).
- Påstand: For likningen \(a^x = a^y\), der \(a \in \mathbb{R}\), er løsningen alltid \(x = y\).
a) Sann. Den gjennomsnittlige vekstfarten er 5.
b) Usann. Flere funksjoner kan ha samme grenseverdier, for eksempel \(f(x)=\frac{1}{x}\) og \(g(x)=\frac{2}{x}\).
c) Usann. For \(a \in \{ -1,0,1 \}\) finnes det flere løsninger.
a
Vi kan finne gjennomsnittlig vekstfart i intervallet ved å beregne
Påstanden stemmer. Den gjennomsnittlige vekstfarten i intervallet er 5.
b
Påstanden sier at dersom to funksjoner har samme grenseverdier når \(x \to \pm \infty\), så er de like.
Det er enkelt å finne eksempler som motbeviser dette, for eksempel vil \(f(x)=\frac{1}{x}\) og \(g(x)=\frac{2}{x}\) begge gå mot null når \(x \to \pm\infty\).
Påstanden er usann. Det finnes eksempler hvor \(f(x)\neq g(x)\).
c
Påstanden lyder: For likningen \(a^{x}=a^{y}\), der \(a \in \mathbb{R}\) så er løsningen alltid \(x=y\).
Her mener jeg at to ulike tolkninger begge er akseptable:
- Det er kun én løsning på likningen, og denne er \(x=y\).
- Det kan finnes flere løsninger på likningen, men \(x=y\) er alltid en løsning.
Alternativ 1: x = y er eneste løsning
Det finnes flere eksempler som motbeviser påstanden, for eksempel vil \(a=1\) gjøre at \(a^{x}=a^{y}\) for alle \(x,y \in \mathbb{R}\). \(a=-1\) og \(a=0\) vil også gi mange løsninger.
Påstanden er feil. For \(a \in \{ -1,0,1 \}\) finnes det flere løsninger.
Alternativ 2: x = y kan være en av flere løsninger
Avhengig av kontekst kan \(0^{0}\) være definert på ulike måter
- I kombinatorikk vil ofte \(0^{0} \overset{\text{def}}{=} 1\)
- \(0^{0}\) er en ubestemt form i de fleste andre deler av matematikken.
Hvis vi tolker at \(0^{0}\) er en ubestemt form så vil likningen ha ingen løsninger for \(a=0\).
Påstanden er usann. For \(a=0\) så er \(x=y\) bare hvis \(x,y\neq 0\).