Grenseverdier av eksponentialfunksjon
Funksjonen \(f\) er gitt ved
\[f(x) = e^{-x+1}, \quad D_f = \mathbb{R}. \]
Oppgave
Bestem grenseverdiene \(\lim_{x\to\infty} f(x)\) og \(\lim_{x\to-\infty} f(x)\) dersom de eksisterer.
Fasit
\(\lim_{x\to\infty} f(x) = \mathbf{0}\)
\(\lim_{x\to-\infty} f(x)\) eksisterer ikke (vokser ubegrenset)
Løsningsforslag
Dette løsningsforslaget er laget av KI og er ikke kvalitetssikret.
Vi bruker at \(e^t \to 0\) når \(t \to -\infty\), og at \(e^t \to \infty\) når \(t \to +\infty\).
La \(t = -x + 1\). Da er \(f(x) = e^t\).
Når \(x \to \infty\): eksponenten \(t = -x+1 \to -\infty\), og derfor
\[\lim_{x\to\infty} f(x) = \lim_{t\to-\infty} e^t = \mathbf{\underline{\underline{0}}} \]
Når \(x \to -\infty\): eksponenten \(t = -x+1 \to +\infty\), og derfor
\[\lim_{x\to-\infty} f(x) = \lim_{t\to+\infty} e^t = +\infty \]
Grenseverdien \(\lim_{x\to-\infty} f(x)\) eksisterer ikke fordi \(f(x)\) vokser ubegrenset.