Vektorer til å bestemme sidekanter og vinkler i trekant

I trekanten \(ABC\) er \(A(3, 1)\), \(B(2, -2)\) og \(C(5, 2)\).

Oppgave

Fasit

a) \(AC\) er kortest (\(|AC| = \sqrt{5} \approx 2{,}24\))
b) Nei, ingen av vinklene er \(90\degree\).

Løsningsforslag

Dette løsningsforslaget er laget av KI og er ikke kvalitetssikret.

Vi finner lengden til alle tre sidene ved å beregne de tre sidevektorene.

\[\vec{AB} = B - A = (2-3, \; -2-1) = (-1, -3) \]

\[|\vec{AB}| = \sqrt{(-1)^2 + (-3)^2} = \sqrt{1+9} = \sqrt{10} \approx 3{,}16 \]

\[\vec{AC} = C - A = (5-3, \; 2-1) = (2, 1) \]

\[|\vec{AC}| = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4+1} = \sqrt{5} \approx 2{,}24 \]

\[\vec{BC} = C - B = (5-2, \; 2-(-2)) = (3, 4) \]

\[|\vec{BC}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5 \]

Vi sammenligner: \(\sqrt{5} < \sqrt{10} < 5\), det vil si \(|AC| < |AB| < |BC|\).

\(AC\) er den korteste siden med lengde \(\underline{\underline{\sqrt{5} \approx 2{,}24}}\).

En vinkel i trekanten er \(90\degree\) hvis og bare hvis de to sidevektorene ut fra det hjørnet er ortogonale, det vil si at prikkproduktet er null.

Vinkel i \(A\) — vektorene \(\vec{AB}\) og \(\vec{AC}\):

\[\vec{AB} \cdot \vec{AC} = (-1) \cdot 2 + (-3) \cdot 1 = -2 - 3 = -5 \neq 0 \]

Ikke \(90\degree\) i \(A\).

Vinkel i \(B\) — vektorene \(\vec{BA} = -\vec{AB} = (1, 3)\) og \(\vec{BC} = (3, 4)\):

\[\vec{BA} \cdot \vec{BC} = 1 \cdot 3 + 3 \cdot 4 = 3 + 12 = 15 \neq 0 \]

Ikke \(90\degree\) i \(B\).

Vinkel i \(C\) — vektorene \(\vec{CA} = -\vec{AC} = (-2, -1)\) og \(\vec{CB} = -\vec{BC} = (-3, -4)\):

\[\vec{CA} \cdot \vec{CB} = (-2) \cdot (-3) + (-1) \cdot (-4) = 6 + 4 = 10 \neq 0 \]

Ikke \(90\degree\) i \(C\).

Siden intet prikkprodukt er null, er ingen av vinklene \(\underline{\underline{90\degree}}\).

Det er ofte best å blande hvilke type oppgaver man gjør dersom du skal forberede deg til en prøve eller eksamen. Her er tre tilfeldige oppgaver i R1.

Oppgave	Fag	År	Oppg
Avstand fra punkt til linje og graf	R1	V23	2-6
Parallellogram og vektorer	R1	V23	2-2
Vinkler og vinkelrette vektorer	R1	V23	1-3
Banefart til 3D-printer	R2	V23	2-3
Parallelle plan og kule	R2	V23	2-2
Pyramide med fire punkter i rommet	R2	V23	1-3
Ishockeypuck med vektorfunksjon	R1	H23	2-5
Areal av sideflaten i avkortet pyramide	R2	H23	1-6
Plan, normalvektor og avstand til punkt	R2	H23	1-4
Vektorfunksjoner og smygplan	R2	H23	2-5
To biler på kryss og motorvei	R1	V24	2-3
Tre punkter på linje og rettvinklet trekant	R1	V24	1-4
Fotball hjørnespark og vektorer	R2	V24	2-1
Kuleflate og plan	R2	V24	2-5
Trekant og plan i rommet	R2	V24	1-4
Koordinatvektorer, lengde og ortogonalitet	R1	H24	1-5
Posisjonsvektorer for småfugler og rovfugl	R1	H24	2-6
Ball i bevegelse med posisjonsvektor	R2	H24	2-1
Telt med vektorer i rommet	R2	H24	1-3
Vurder påstander om rekke, plan og areal	R2	H24	2-2
Bil på spiralvei i parkeringshus	R2	V25	2-1
Bordplate som trekant i 3D	R2	V25	1-5
Fiskebåt og vektorbevegelse	R1	V25	2-4
Vektorer og basketball	R1	V25	1-6
Kuleflate og tangentplan	R2	H25	1-7
Miniubåt, fart og kollisjon med fiskestim	R2	H25	2-1
Koordinater, linje og ortogonalitet	R1	H25	1-4
Parameterframstilling og møtepunkt	R1	H25	2-4
Vektorer, lengde og ortogonalitet	R1	H25	2-5

Relatert