Vinkel og likebeint trekant med vektorer R1 V26
Gitt punktene \(A(1, -3)\), \(B(4, 1)\) og \(C(-2, a)\), der \(a \in \mathbb{R}\).
Oppgave
- Bestem \(a\) slik at vinkel \(BAC\) blir \(90\degree\).
- Bestem \(a\) slik at \(|\vec{AB}| = |\vec{AC}|\).
Fasit
a) \(\underline{\underline{a = -\dfrac{3}{4}}}\)
b) \(\underline{\underline{a = 1}}\) eller \(\underline{\underline{a = -7}}\)
Løsningsforslag
Dette løsningsforslaget er laget av KI og er ikke kvalitetssikret.
Vi finner vektorene \(\vec{AB}\) og \(\vec{AC}\):
\[\vec{AB} = B - A = (4-1,\; 1-(-3)) = (3, 4) \]
\[\vec{AC} = C - A = (-2-1,\; a-(-3)) = (-3, a+3) \]
a
Vinkel \(BAC = 90\degree\) når \(\vec{AB}\) og \(\vec{AC}\) er ortogonale, det vil si når skalarproduktet er null.
\[\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 3 \cdot (-3) + 4 \cdot (a+3) = 0 \]
\[-9 + 4a + 12 = 0 \]
\[4a + 3 = 0 \]
\[a = -\frac{3}{4} \]
\(\underline{\underline{a = -\dfrac{3}{4}}}\)
b
Trekanten er likebeint med \(|\vec{AB}| = |\vec{AC}|\) når de to sidene fra \(A\) er like lange. Vi setter opp:
\[|\vec{AB}|^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 \]
\[|\vec{AC}|^2 = (-3)^2 + (a+3)^2 = 9 + (a+3)^2 \]
Vi setter \(|\vec{AB}|^2 = |\vec{AC}|^2\):
\[25 = 9 + (a+3)^2 \]
\[(a+3)^2 = 16 \]
\[a + 3 = \pm 4 \]
\[a = 1 \qquad \text{eller} \qquad a = -7 \]
\(\underline{\underline{a = 1}}\) eller \(\underline{\underline{a = -7}}\)