Koordinater, linje og ortogonalitet
I et koordinatsystem har vi gitt punktene \(A(-2, 3)\) og \(B(3, 2)\).
Oppgave
- Bestem lengden av linjestykket \(AB\).
Linja gjennom \(A\) og \(B\) skjærer \(x\)-aksen i punktet \(C\).
Oppgave
- Bestem koordinatene til \(C\).
Et punkt \(D\) er gitt ved \(D(2, t)\) der \(t \in \mathbb{R}\).
Oppgave
- Bestem \(t\) slik at \(\angle ABD\) blir \(90\degree\).
Fasit
a) \(|AB| = \sqrt{26}\)
b) \(C = (13,\; 0)\)
c) \(t = -3\)
Løsningsforslag
Dette løsningsforslaget er laget av KI og er ikke kvalitetssikret.
a
\[|AB| = \sqrt{(3-(-2))^2 + (2-3)^2} = \sqrt{25 + 1} = \sqrt{26} \]
\(\underline{\underline{|AB| = \sqrt{26}}}\)
b
Stigningstallet til linjen gjennom \(A(-2,3)\) og \(B(3,2)\) er
\[m = \frac{2-3}{3-(-2)} = -\frac{1}{5} \]
Linjens ligning: \(y - 3 = -\dfrac{1}{5}(x + 2)\), det vil si \(y = \dfrac{13}{5} - \dfrac{x}{5}\).
For \(y = 0\): \(x = 13\).
\(\underline{\underline{C = (13,\; 0)}}\)
c
Vinkelen \(\angle ABD = 90°\) betyr at \(\vec{BA} \perp \vec{BD}\), altså \(\vec{BA} \cdot \vec{BD} = 0\).
\[\vec{BA} = (-5,\; 1) \qquad \vec{BD} = (2-3,\; t-2) = (-1,\; t-2) \]
\[\vec{BA} \cdot \vec{BD} = (-5)(-1) + 1 \cdot (t-2) = 5 + t - 2 = 3 + t = 0 \implies t = -3 \]
\(\underline{\underline{t = -3}}\)