Blomsterbed med halvsirkel
Selma og Sofie vil lage et blomsterbed med gjerde rundt. Blomsterbedet skal ha form som et rektangel med en halvsirkel i enden. Se skissen.
Formler for omkrets og areal av en sirkel:
- Forklar at omkretsen av blomsterbedet kan skrives som
\[O = 2 \cdot y + x + \frac{\pi \cdot x}{2} \]
Jentene har kjøpt inn materialer slik at de kan lage et gjerde som er 12 meter.
Selma foreslår at \(x\) skal være 1 meter.
- Vis at da må \(y\) være ca. \(4{,}7\) meter.
- Hvor stort blir arealet av blomsterbedet dersom \(x = 1\) og \(y = 4{,}7\)?
Sofie vil lage en systematisk oversikt som viser arealet av ulike blomsterbed de kan lage når gjerdet skal være 12 meter.
- Lag en slik oversikt for Sofie.
Selma lurer på om de kan tegne en graf som de kan bruke for å finne den verdien av \(x\) som vil gi størst mulig areal når gjerdet skal være 12 meter. Hun prøver å sette opp et funksjonsuttrykk hun kan bruke.
- Sett opp et funksjonsuttrykk for Selma. Tegn grafen og bestem det størst mulige arealet.
a) Vis
b) \(y \approx 4{,}7 \, \mathrm{m}\)
c) \(A \approx 5{,}1 \, \mathrm{m^2}\)
d) Oversiktstabell
e) \(A_{\max} \approx 10{,}1 \, \mathrm{m^2}\) ved \(x \approx 3{,}36 \, \mathrm{m}\)
Denne løsningen er skrevet av KI. Løsningen ser riktig ut, men jeg har lyst til å endre på fremgangsmåten slik at det passer bedre med hvordan vi vanligvis løser slike oppgaver i norsk videregående skole.
a
Blomsterbedet har to sider av lengde \(y\) (de to langsidene), én rett ende med lengde \(x\), og én halvsirkel med diameter \(x\) (radius \(r = x/2\)).
De tre rette sidene vil ha lengde \(y+x+y\).
Halvsirkelen har omkretsen til en halvsirkel med radius \(\frac{x}{2}\). Omkretsen til en hel sirkel er \(2\pi r\), og da blir omkretsen til en halvsirkel \(\pi r\). Lengden av vår halvsirkel er
Dermed er den totale omkretsen:
b
Setter inn \(x = 1\) og \(O = 12\):
Når \(x = 1\), er \(y \approx \underline{\underline{4{,}7 \, \mathrm{m}}}\).
c
Arealet består av et rektangel og en halvsirkel:
Arealet er omtrent \(\underline{\underline{5{,}1 \, \mathrm{m^2}}}\).
d
Fra \(O = 12\) får vi \(y = \dfrac{12 - x\left(1 + \dfrac{\pi}{2}\right)}{2}\).
Arealet er \(A = xy + \dfrac{\pi x^2}{8}\).
| \(x\) (m) | \(y\) (m) | \(A\) (m²) |
|---|---|---|
| \(0{,}5\) | \(5{,}36\) | \(2{,}78\) |
| \(1{,}0\) | \(4{,}71\) | \(5{,}11\) |
| \(1{,}5\) | \(4{,}07\) | \(6{,}99\) |
| \(2{,}0\) | \(3{,}43\) | \(8{,}43\) |
| \(2{,}5\) | \(2{,}79\) | \(9{,}42\) |
| \(3{,}0\) | \(2{,}14\) | \(9{,}97\) |
| \(3{,}5\) | \(1{,}50\) | \(10{,}06\) |
| \(4{,}0\) | \(0{,}86\) | \(9{,}72\) |
Tabellen viser at størst areal oppnås et sted mellom \(x = 3\) og \(x = 4\).
e
Fra \(O = 12\) uttrykker vi \(y\) som funksjon av \(x\):
Setter inn i arealformelen og forenkler:
Vi tegner grafen til \(A(x)\) i GeoGebra og leser av toppunktet:
Fra grafen leser vi at toppunktet er \((3{,}36,\ 10{,}08)\), altså \(x \approx 3{,}36 \, \mathrm{m}\) og \(A \approx 10{,}1 \, \mathrm{m^2}\).
Tilhørende \(y\):
Det største arealet er \(\underline{\underline{\approx 10{,}1 \, \mathrm{m^2}}}\), og det oppnås når \(x \approx 3{,}36 \, \mathrm{m}\).