Andregradsuttrykk og ulikhet fra graf
Figuren viser grafen til en funksjon \(f\).
Oppgave
- Bestem \(f(x)\)
- Løs ulikheten \(f(x) > 12\)
Fasit
a) \(\underline{\underline{f(x) = -2x^2 + 2x + 24}}\)
b) \(\underline{\underline{-2 < x < 3}}\)
Løsningsforslag
Dette løsningsforslaget er laget av KI og er ikke kvalitetssikret.
a
Fra grafen leser vi av at \(f\) har nullpunkter i \(x = -3\) og \(x = 4\), og at \(f(0) = 24\).
Vi skriver \(f\) på nullpunktform:
\[f(x) = a(x + 3)(x - 4)
\]
Vi bruker at \(f(0) = 24\) for å bestemme \(a\):
\[f(0) = a \cdot (0 + 3)(0 - 4) = -12a = 24 \implies a = -2
\]
Dermed er
\[f(x) = -2(x+3)(x-4) = \mathbf{-2x^2 + 2x + 24}
\]
b
Vi løser \(f(x) > 12\):
\[-2x^2 + 2x + 24 > 12
\]
\[-2x^2 + 2x + 12 > 0
\]
Deler begge sider på \(-2\) (snur ulikheten):
\[x^2 - x - 6 < 0
\]
Faktoriserer venstresiden:
\[x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2)
\]
Produktet \((x-3)(x+2) < 0\) når de to faktorene har motsatt fortegn. Vi setter opp fortegnsskjema:
| \(x < -2\) | \(x = -2\) | \(-2 < x < 3\) | \(x = 3\) | \(x > 3\) | |
|---|---|---|---|---|---|
| \(x + 2\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | \(+\) | \(+\) |
| \(x - 3\) | \(-\) | \(-\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) |
| Produkt | \(+\) | \(0\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) |
Produktet er negativt for \(\mathbf{-2 < x < 3}\).