Omvendt funksjon fra graf
Nedenfor ser du grafene til funksjonene \(f\), \(g\) og \(h\).
- Avgjør og begrunn for hver av funksjonene om de har en omvendt funksjon.
- Bestem funksjonsuttrykket og definisjonsmengden til den omvendte funksjonen i de tilfellene den eksisterer.
a) \(f\) har omvendt funksjon. \(g\) har ikke omvendt funksjon. \(h\) har ikke omvendt funksjon.
b) \(f^{-1}(x) = \sqrt{x - 3}\), \(\quad D_{f^{-1}} = \langle 3, 7 \rangle\)
En funksjon har en omvendt funksjon hvis og bare hvis den er injektiv (én-til-én), det vil si at ingen horisontal linje skjærer grafen i mer enn ett punkt.
a
Funksjonen \(f\):
Fra grafen ser vi at \(f\) er definert på \([0, 2]\) og er strengt voksende – grafen går fra \(f(0) = 3\) opp til \(f(2) = 7\) uten å snu. En strengt voksende funksjon er alltid injektiv, siden ulike \(x\)-verdier gir ulike \(y\)-verdier. Enhver horisontal linje skjærer grafen i høyst ett punkt.
\(\Rightarrow\) \(f\) har omvendt funksjon.
Funksjonen \(g\):
Dette løsningsforslaget er skrevet av KI og matematikk.net har en annen tolkning. Vi har konkludert med at \(g\) ikke har omvendt funksjon (siden \(y=1\) ser ut til å treffes av både \(x=1\) og \(x=2\)), mens matematikk.net sitt løsningsforslag sier at \(g\) har omvendt funksjon. Forskjellen avhenger av hvordan endepunktene i den stykkevise definisjonen tolkes (åpne/lukkete). Se grafen nøye og vurder selv.
Fra grafen ser vi at \(g\) er stykkevis lineær:
- På \([-3, 1]\): stigende linje fra \((-3, -3)\) til \((1, 1)\), altså \(g(x) = x\).
- På \((1, 2]\): synkende linje fra \((1, 2)\) til \((2, 1)\), altså \(g(x) = -x + 3\).
\(y\)-verdien \(1\) oppnås av to ulike \(x\)-verdier: \(g(1) = 1\) (første gren) og \(g(2) = -2 + 3 = 1\) (andre gren). Den horisontale linjen \(y = 1\) skjærer grafen i to punkter.
\(\Rightarrow\) \(g\) har ikke omvendt funksjon.
Funksjonen \(h\):
Fra grafen ser vi at \(h\) har et lokalt maksimum ved \(x \approx -1\) (med \(h(-1) \approx 6\)) og et lokalt minimum ved \(x \approx 1\) (med \(h(1) \approx 4\)). Funksjonen er ikke monoton: den stiger, så synker den, og stiger igjen. En horisontal linje som skjæres ved for eksempel \(y = 5\) vil treffe grafen i tre punkter.
\(\Rightarrow\) \(h\) har ikke omvendt funksjon.
b
Siden bare \(f\) har omvendt funksjon, bestemmer vi kun \(f^{-1}\).
Fra grafen kan vi kjenne igjen formen på \(f\): den starter i \((0, 3)\) og går gjennom \((1, 4)\) og \((2, 7)\). Vi prøver \(f(x) = x^2 + 3\):
Formen (oppovervending parabel, kun stigende del) stemmer med grafen.
Vi finner den omvendte funksjonen algebraisk. Setter \(y = x^2 + 3\) og løser for \(x\) (med \(x \geq 0\) siden \(f\) er definert på \([0, 2]\)):
Bytter om på \(x\) og \(y\) for å skrive funksjonsuttrykket:
Definisjonsmengden til \(f^{-1}\) er verdimengden til \(f\). Siden \(f\) tar verdier fra \(f(0) = 3\) til \(f(2) = 7\), er
\(f^{-1}(x) = \sqrt{x-3}\) med \(D_{f^{-1}} = \langle 3, 7 \rangle\).