Tredjegradslikning og grafvalg
Oppgave
- Løs likningen
\[x^3 - 7x^2 - 10x + 16 = 0 \]
Funksjonen \(f\) er gitt ved
\[f(x) = x^3 - 7x^2 - 10x + 16 \]
Oppgave
- Hvilken av grafene nedenfor kan være grafen til \(f\)? Husk å begrunne svaret.
Fasit
a) \(\underline{\underline{x = -2, \quad x = 1, \quad x = 8}}\)
b) Graf C
Løsningsforslag
Dette løsningsforslaget er laget av KI og er ikke kvalitetssikret.
a
Vi prøver \(x = 1\):
\[1^3 - 7 \cdot 1^2 - 10 \cdot 1 + 16 = 1 - 7 - 10 + 16 = 0 \checkmark \]
Siden \(x = 1\) er en rot, er \((x - 1)\) en faktor. Vi utfører polynomdivisjon:
\[\frac{x^3 - 7x^2 - 10x + 16}{x - 1} \]
\[\begin{array}{r} x^2 - 6x - 16 \\[-4pt] \hline x - 1 \;\right)\; x^3 - 7x^2 - 10x + 16 \\ x^3 - x^2 \\[-4pt] \hline -6x^2 - 10x \\ -6x^2 + 6x \\[-4pt] \hline -16x + 16 \\ -16x + 16 \\[-4pt] \hline 0 \end{array}\]
Vi har nå:
\[x^3 - 7x^2 - 10x + 16 = (x - 1)(x^2 - 6x - 16) \]
Vi løser \(x^2 - 6x - 16 = 0\) med abc-formelen:
\[x = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 64}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{100}}{2} = \frac{6 \pm 10}{2} \]
\[x = \frac{6 + 10}{2} = 8 \qquad \text{eller} \qquad x = \frac{6 - 10}{2} = -2 \]
Løsningene er \(x = -2\), \(x = 1\) og \(x = 8\).
b
Vi bruker egenskapene til \(f(x) = x^3 - 7x^2 - 10x + 16\) for å velge riktig graf:
- Ledende koeffisient positiv (\(+x^3\)): grafen går mot \(-\infty\) når \(x \to -\infty\) og mot \(+\infty\) når \(x \to +\infty\). Det utelukker A og B (som begge har negativ ledende koeffisient).
- Tre nullpunkter ved \(x = -2\), \(x = 1\) og \(x = 8\): én negativ rot og to positive røtter.
- \(y\)-skjæring: \(f(0) = 16 > 0\).
- Lokalt toppunkt mellom røttene \(-2\) og \(1\) ligger ved en negativ \(x\)-verdi (til venstre for \(y\)-aksen). Lokalt bunnpunkt ligger mellom røttene \(1\) og \(8\), altså ved en positiv \(x\)-verdi (til høyre for \(y\)-aksen).
Graf D har lokalt toppunkt til høyre for \(y\)-aksen og lokalt bunnpunkt til venstre – det stemmer ikke med \(f\).
Graf C har:
- positiv ledende koeffisient (riktig retning)
- én negativ rot (ca. \(x = -2\)), lokalt toppunkt like til venstre for \(y\)-aksen
- positiv \(y\)-skjæring
- en rot ved liten positiv \(x\) (ca. \(x = 1\)), lokalt bunnpunkt lengre til høyre
- en rot ved større positiv \(x\) (ca. \(x = 8\))
Dette stemmer med \(f\). Graf C er riktig.