Polynom med faktorisering
Et polynom \(P\) er gitt ved
\[P(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 4 \]
Oppgave
- Begrunn at \(P(x)\) er delelig med \((x - 1)\).
- Faktoriser \(P(x)\) i førstegradsfaktorer.
Fasit
a) \(P(1)=0\), altså må \((x-1)\) være en faktor i \(P(x)\).
b) \(P(x)=(x-1)^{2}(x-4)\)
Løsningsforslag
Dette løsningsforslaget er laget av KI og er ikke kvalitetssikret.
a
\(P(x)\) vil være delelig med \((x-1)\) dersom vi kan faktorisere \(P(x)\) på denne måten \(P(x)=(x-1) \cdot a(x-x_{1})(x-x_{2})\). For å kunne gjennomføre denne faktorisering så må \(x=1\) være et nullpunkt til \(P\).
\[P(1)=1^{3}-6\cdot 1^{2}+9\cdot 1 - 4=1-6+9-4=0 \]
\((x-1)\) må være en faktor i \(P\) og \(P\) må derfor være delelig på \((x-1)\).
b
\((x-1)\) er en faktor. Vi gjennomfører polynomdivisjon for å kunne finne de de andre faktorene.
\[\begin{aligned} &\phantom{0}(x^3 - 6x^2 + 9x - 4) : (x - 1) = x^2 - 5x + 4 \\ &\underline{-(x^3 - x^2)} \\ &\phantom{0000} -5x^2 + 9x \\ &\phantom{000} \underline{-(-5x^2 + 5x)} \\ &\phantom{000000000000} 4x - 4 \\ &\phantom{0000000000} \underline{-(4x - 4)} \\ &\phantom{00000000000000000} 0 \end{aligned} \]
Dette gir oss at \(P(x) = (x - 1)(x^2 - 5x + 4)\).
Vi faktoriserer andregradsuttrykket \(x^2 - 5x + 4\) ved hjelp av heltallsmetoden. Vi ser etter to tall som har sum \(-5\) og produkt \(4\). Tallene er \(-1\) og \(-4\):
\[x^2 - 5x + 4 = (x - 1)(x - 4) \]