Nullpunkter til tredjegradsfunksjon
Oppgave
Bestem nullpunktene til funksjonen gitt ved \(f\)
\[f(x) = x^3 - 5x^2 - 8x + 12 \]
Fasit
\(x = -2\), \(x = 1\), \(x = 6\)
Løsningsforslag
Tester \(x=1\): \(f(1) = 1 - 5 - 8 + 12 = 0\), så \((x-1)\) et nullpunkt, og det er en faktor i tredjegradsfunksjonen vår.
Vi utfører polynomdivisjonen:
\[\begin{aligned} & \,\quad \left( x^{3} -5x^{2}-8x +12 \right) : (x-1) = x^{2}-4x-12 \\ & \underline{ - \left( x^{3} -x^{2} \right) } \\ & \quad \quad \quad -4x^{2} - 8x +12 \\ & \quad \;\; - \underline{ \left( -4x^{2} +4x\right) }\\ & \quad \;\quad \quad \quad \quad - 12x+12 \\ & \quad \;\;\; \quad \quad \underline{- \left( - 12x+12 \right)} \\ & \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad 0 \end{aligned} \]
Vi kan altså skrive om \(f\) som \(f(x) = (x-1)(x^2 - 4x - 12)\).
Vi prøver heltallsmetoden på andregradsuttrykket og ser at \(-6\) og \(+2\) passer slik at
\[(x^2 - 4x - 12)=(x-6)(x+2) \]
Dermed har vi funnet to nye nullpunkter: \(x=6\) og \(x=-2\).
Nullpunktene er \(\underline{\underline{x = -2}}\), \(\underline{\underline{x = 1}}\) og \(\underline{\underline{x = 6}}\).