Polynom og ulikhet
Et polynom \(P\) er gitt ved
\[P(x) = x^3 - 9x^2 + 15x - 7 \]
Oppgave
- Begrunn at \(P(x)\) er delelig med \((x - 1)\).
- Løs ulikheten \(P(x) \geq 0\).
- Forkort brøken
\[\frac{x^2 - 2x + 1}{x^3 - 9x^2 + 15x - 7} \]
Fasit
a) \(P(1) = 0\), så \(P(x)\) er delelig med \((x-1)\)
b) \(x \in \{1\} \cup [7, \to \rangle\)
c) \(\dfrac{1}{x - 7}\)
Løsningsforslag
Dette løsningsforslaget er laget av KI og er ikke kvalitetssikret.
a
Vi setter inn \(x = 1\):
\[P(1) = 1^3 - 9 \cdot 1^2 + 15 \cdot 1 - 7 = 1 - 9 + 15 - 7 = 0 \]
Siden \(P(1) = 0\), er \(P(x)\) delelig med \((x - 1)\) ifølge faktorsettningen.
b
Vi utfører polynomdivisjon \(P(x) : (x - 1)\):
\[P(x) = (x - 1)(x^2 - 8x + 7) \]
Vi faktoriserer andregradsuttrykket:
\[x^2 - 8x + 7 = (x - 1)(x - 7) \]
Altså:
\[P(x) = (x - 1)^2(x - 7) \]
Vi løser ulikheten \(P(x) \geq 0\):
\((x - 1)^2 \geq 0\) for alle \(x\), så fortegnet til \(P(x)\) bestemmes av \((x - 7)\).
- \((x-7) \geq 0\) når \(x \geq 7\)
- Når \(x = 1\): \(P(1) = 0\)
\[\underline{\underline{x \in \{1\} \cup [7, \to \rangle}} \]
c
Vi kjenner igjen telleren som et fullstendig kvadrat:
\[x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2 \]
Fra oppgave b) har vi \(P(x) = (x-1)^2(x-7)\). Vi forkorter:
\[\frac{x^2 - 2x + 1}{x^3 - 9x^2 + 15x - 7} = \frac{(x - 1)^2}{(x - 1)^2(x - 7)} = \underline{\underline{\frac{1}{x - 7}}} \]