Faktorisering av tredjegradsuttrykk v23
Gitt likningen
\[x^{3}-5 x^{2}-8 x+12=(x-1)(x+a)(x-b) \]
Oppgave
Bestem \(a\) og \(b\) slik at likningen blir en identitet.
Fasit
\(a=2 \wedge b=6\)
Løsningsforslag
Hvis likningen skal være en identitet så må uttrykkene på høyre side og venstre side være like for alle \(x\).
Vi ser av faktoriseringen at \((x-1)\) er en faktor i \(x^3-5x^2-8x+12\). Det enkleste er nok derfor å dividere begge sider av likningen med \((x-1)\).[^3] Venstre side blir da:
\[\begin{aligned} (x^3-5x^2-8x+12&):(x-1)= \underline{x^2-4x+12}\\ \underline{x^3 -1x^2+0x+\,0}&\\ -4x^2-8x+12&\\ \underline{-4x^2 +4x+0}&\\ 12x+12&\\ \underline{12x+12}&\\ 0& \end{aligned} \]
Jeg utfører divisjonen på begge sider av den opprinnelige likningen og får
\[\begin{aligned} (x^3-5x^2-8x+12):(x-1)&= \cancel{ (x-1) }(x+a)(x-b):\cancel{ (x-1) }\\ \underbrace{ x^2-4x+12}_{ \text{heltallsmetoden gir }(x+2)(x-6) }&=(x+a)(x-b)\\ (x+2)(x-6)&=(x+a)(x-b) \end{aligned} \]
Jeg ser at \(\underline{\underline{a=2\wedge b=6}}\) for at likningen skal bli en identitet.