Tredjegradsfunksjoner uten førstegradsledd
Trym og Eira arbeider med oppgaven nedenfor.
Funksjonen \(f\) er gitt ved
Bestem koordinatene til eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til \(f\).
Jeg ser med én gang at grafen må ha et topp- eller bunnpunkt som ligger på \(y\)-aksen.
Hvordan ser du det?
TRYM: Funksjonsuttrykket har ikke et førstegradsledd. Da må det være slik.
Hvorfor det? Vil det alltid være slik?
TRYM: Ja, i alle fall for alle tredjegradsfunksjoner. Det har jeg lært meg.
Men det er jo ikke slik for grafen til \(x^{3}\).
Æsj! Det stemmer. Det kan jo hende du har litt rett likevel, men at det er noe mer vi må se etter?
- Løs oppgaven elevene arbeider med.
- Ta utgangspunkt i dialogen ovenfor. Utforsk og kommenter Trym sin «regel».
a) Topp i \((0, 2)\) og bunn i \((2, -2)\).
b) Det vil alltid være et stasjonært punkt på \(y\)-aksen for slike funksjoner.
a
Jeg tegnet grafen til \(f\) i GeoGebra og fant ekstremalpunktene, se \(A\) og \(B\) i utklippet.
\(f\) har toppunkt i \((0, 2)\) og bunnpunkt i \((2, -2)\).
b
Tredjegradsfunksjoner uten førstegradsledd har den generelle formen
Den deriverte \(P'(x)\) gir oss den momentane vekstfarten for hver \(x\)-verdi. Når den momentane vekstfarten er lik null så verken vokser eller minker funksjonen \(\implies\) vi må da befinne oss i et stasjonært punkt.
Vi ser at \(x=0\) alltid vil gi et stasjonært punkt i \((0, P(0))\) for slike tredjegradsfunksjoner. Stasjonære punkter er ikke bare topp- eller bunnpunkter, det kan også være terrassepunkter slik som grafen til \(x^3\) viser.
Ved å tegne grafen til \(P(x)=ax^3+bx^2+c\) i GeoGebra og justere på glidere for \(a, b, c\) så ser det ut til at vi kun får terrassepunkter dersom \(b=0\). Hvis \(b\neq 0\) så ser det ut til at vi får både et toppunkt og et bunnpunkt. Hvis \(b>0\) så er det bunnpunktet som befinner seg på \(y\)-aksen og hvis \(b<0\) så er det toppunktet som befinner seg på \(y\)-aksen. Det ser også ut til at topp- og bunnpunktet går nærmere hverandre når jeg justerer \(b\) slik at den blir nærmere 0.
Vi kan også se at \(b=0\) vil gi et terrassepunkt fra løsningene av \(P'(x)=0\) som vi fant tidligere. Den ene løsningen vil alltid være \(x=0\). Den andre løsningen, \(x=\frac{-2b}{3a}\), vil også bli null dersom koeffisienten foran andregradsleddet, \(b\), er lik null. Dermed vil på vår toppunktsløsning og bunnpunktsløsning ligge i det samme punktet \(\implies\) vi får et terrassepunkt.
Trym sin regel er nesten riktig. Det vil alltid være et topp- eller bunnpunkt på \(y\)-aksen dersom tredjegradsfunksjonen mangler førstegradsledd, men har et andregradsledd. Det vil imidlertid alltid være et stasjonært punkt på \(y\)-aksen dersom funksjonen mangler førstegradsleddet.
\clearpage