Areal av trekant i sirkel
Punktene \(A, B\) og \(C\) ligger på en sirkel med sentrum i \(S\) og radius \(r\).
\(\angle S B A=30^{\circ}\) og \(\angle B S C=90^{\circ}\)
Arealet av \(\triangle A B C\) er \(2 \sqrt{3}+6\)
Se figuren ovenfor.
Bestem en eksakt verdi for \(r\).
\(r=2 \sqrt{ 2 }\)
Jeg ser at \(\triangle SBC\) og \(\triangle ABS\) er likebeinte trekanter med to sider med lengde \(r\).
Jeg har fått oppgitt arealet \(A=2\sqrt{ 3 }+6\), derfor ønsker jeg å bruke arealsetningen til å bestemme \(r\). Jeg ser at det er mulig å bruke arealsetningen med \(BC\), \(AB\) og \(\angle B\).
For å bestemme \(BC\) brukte jeg pytagoras i linje 1 og fant \(BC=\sqrt{ 2 } |r|\). Dette er lik \(\sqrt{ 2 }r\) siden radius alltid må være positiv.
For å bestemme \(AB\) fant jeg først vinkelen \(\angle SAB=\angle SBA=30\degree\) siden \(\triangle ABS\) er likebeint. Da må \(\angle ASB=120\degree\). Deretter brukte jeg cosinussetningen i linje 2 på trekant \(ABS\) med \(AB\) som den ukjente siden. Igjen kan vi se bort fra negative løsninger og \(AB=\sqrt{ 3 }r\).
Siden \(\triangle SBC\) er rettvinklet og likebeint må \(\angle SBC=45\degree\). Jeg satt derfor opp arealsetningen på \(\triangle ABC\) i linje 3 og løste likningen med det oppgitte arealet i linje 4.