Radianer og eksakte trigonometriske verdier
- Hva er definisjonen av det absolutte vinkelmålet (radianen) til en vinkel? Hvor mange radianer er \(80\degree\)?
- Finn de eksakte verdiene til \(\cos v\) og \(\tan v\) når \(\sin v = -\dfrac{1}{4}\) og \(v \in \left[\pi, \dfrac{3\pi}{2}\right]\).
a) \(\dfrac{4}{9}\pi\) radianer
b) \(\cos v = -\dfrac{\sqrt{15}}{4}\), \(\tan v = \dfrac{1}{\sqrt{15}}\)
a
Vi tar utgangspunkt i en sirkel med radius \(r=1\) og legger toppunktet til en vinkel \(\theta\) i sentrum av sirkelen. Vinkelbeina vil skjære sirkelperiferien og avgrense en sirkelbue \(b\).
Det absolutte vinkelmålet er forholdet mellom sirkelbuen \(b\) og omkretsen til hele sirkelen.
Vi kan bruke forholdet mellom et vinkelmål og en hel omdreining for å gjøre om fra grader til radianer. La \(\theta\) være det absolutte vinkelmålet til \(80^\circ\), da er
\(80^\circ\) er \(\frac{4}{9}\pi\) radianer.
b
Vi vet at hypotenusen i en enhetssirkel er 1, derfor har vi \(\text{mk}=-\frac{1}{4}\). Lengden av den siste kateten i en slik trekant må være
Vi ser at vinkelen vår må befinne seg i tredje kvadrant siden \(v \in \left[ \pi, \frac{3\pi}{2} \right]\). Det betyr at \(\cos v=-\sqrt{ \frac{15}{16} }\).
\(\tan v\) er gitt ved