Sumformel, kvotient og geometrisk rekke
- Finn summen av den aritmetiske rekken \(3+7+11+15+\cdots+399\).
- Bestem kvotienten \(k\) for en uendelig geometrisk rekke som konvergerer og som har \(a_1 = 12\) og sum = 18.
- Vis at tallet \(0{,}75757575\ldots\) kan skrives som en uendelig geometrisk rekke. Bruk dette til å vise at \(1{,}75757575\ldots = \dfrac{58}{33}\).
a) \(s_{100} = 20\,100\)
b) \(k = \dfrac{1}{3}\)
c) \(1{,}75757575\ldots = \dfrac{58}{33}\) (bevis)
a
Summen av en aritmetisk rekke er gitt ved
Vi ser at differansen \(d=4\). For å finne ut hvor mange ledd det er i rekka vår kan vi løse
Summen av de 100 første leddene blir altså
b
Vi vet at summen av en uendelig geometrisk rekke som konvergerer er
Vi setter inn verdiene i uttrykket for \(k\)
c
Vi kan omskrive tallet som sum summen av uendelig rekke med ledd på denne måten \(0{,}75757575\ldots=0{,}75+0{,}0075+0{,}000075+\cdots\)
Hvert av disse leddene kan vi skrive om som brøker
Vi ser et mønster hvor hvert ledd er \(\frac{1}{100}\) av det forrige, altså har vi
Vi har altså vist at \(0{,}75757575\dots\) kan skrives som en uendelig geometrisk rekke, og med sumnotasjon blir rekka
Denne uendelig geometrisk rekka har \(a_{1}=\frac{3}{4}\) og \(k=\frac{1}{100}\). Summen av rekka er gitt ved
Siden vi nå vet at \(0{,}75757575+\dots=\frac{25}{33}\) så kan vi vise følgende
Vi har altså vist at \(1{,}75757575\ldots=\frac{58}{33}\).