Summen av ukjent uendelig geometrisk rekke

Summen av en uendelig geometrisk rekke konvergerer mot 6.

Summen av tre første leddene er \(\frac{38}{9}\) .

Bestem summen av de fire første leddene.

Fasit

\(\frac{130}{27}\)

Løsningsforslag

Dette løsningsforslaget er laget av KI og er ikke kvalitetssikret.

1-3

Om oppgaveteksten

Denne oppgaven finnes i to ulike varianter (sannsynligvis på grunn av en skrivefeil i løsningsforslag eller oppgavesettet. Den ene varianten sier at summen av de tre første leddene er 38/9, mens den andre varianten sier at summen av de seks første leddene er 38/9. Løsningsmetoden min vil fungere uansett hvilken variant man tenker seg, men det er nok lurt å heller formel for sum av geometrisk rekke (\(s_{n} = a_{1} \frac{k^n-1}{k-1}\)) enn min framgangsmåte dersom man får oppgitt summen av et høyt antall ledd. Min metode er enkel når du bare trenger å tenke på 3 ledd, men skal du ta hensyn til 100 så må du regne mye!

Oppgavetekst

Summen av en uendelig geometrisk rekke konvergerer mot 6.

Sum av tre første ledd er 38/9

Hva er sum av de fire første?

Løsningsforslag

Jeg kaller første ledd i rekka for \(x\). Vet da at de tre første leddene må være:

\[x+xk+xk^2=\frac{38}{9} \]

Som kan faktoriseres til

\[x(1+k+k^2)=\frac{38}{9} \]

Summen for uendelig geometrisk rekke gir:

\[\frac{x}{1-k}=6 \]

Løser den likningen for \(x\) og setter inn i uttrykket for sum av 3 første ledd

\[x=6(1-k) \]

\[6(1-k)(1+k+k^2)=\frac{38}{9} \]

\[(1-k)(1+k+k^2)=\frac{38}{9\cdot 6}=\frac{38}{54}=\frac{19}{27} \]

\[1+k+k^2-k-k^2-k^3=\frac{19}{27} \]

\[1-k^3=\frac{19}{27} \]

\[k^3=1-\frac{19}{27}=\frac{8}{27}\Rightarrow \underline{k=\frac{2}{3}} \]

Vi har nå funnet \(k\) og kan enkelt finne \(x\):

\[x=6 (1-k)=6\left( 1- \frac{2}{3} \right)=6 \frac{1}{3}=2 \]

Ledd 4 må være:

\[xk^3=2 \cdot \frac{8}{27}=\frac{16}{27} \]

Summen av de fire første leddene blir da summen av de tre første pluss dette fjerde leddet

\[\frac{38}{9}+\frac{16}{27}=\frac{114}{27}+\frac{16}{27}=\frac{130}{27} \]

Summen av fire første ledd er

\[\underline{\underline{\frac{130}{27}}} \]

Alternativ løsning

Fra formel for sum av uendelig geometrisk rekke vet vi at

\[\frac{a_{1}}{1-k}=6 \]

Samtidig kan sum av de tre første leddene uttrykkes som

\[\frac{38}{9}=a_{1}\cdot \frac{k^{3}-1}{k-1} \]

Vi har altså to likninger og to ukjente, \(a_{1}\) og \(k\).

Vi kan løse den første likningen for \(a_{1}\) og sette inn i den andre likningen

\[a_{1}=6(1-k) \]

\[\frac{38}{9}=6(1-k) \cdot \frac{k^3-1}{k-1}=6\cdot \frac{(k^{3}-1)(1-k)}{k-1} \]

Siden \((1-k)=(-1)\cdot (k-1)\) så bytter jeg ut denne faktoren i telleren for å kunne forkorte brøken på høyre side. Samtidig deler jeg på 6 på begge sider.

\[\frac{38}{54}= \frac{(k^{3}-1)(-1)\cancel{ (k-1) }}{\cancel{ (k-1) }}=(k^{3}-1)(-1)=1-k^{3} \]

Vi kan nå løse likningen

\[\begin{aligned} \frac{38}{54}&=1-k^{3} \\ k^3&=1-\frac{38}{54}=\frac{16}{54}=\frac{8}{27}\\ k&=\sqrt[3]{ \frac{8}{27} }=\frac{2}{3} \end{aligned} \]

Når vi endelig har \(k\) så kan vi finne \(a_{1}\) med

\[a_{1}=6(1-k)=6\left( 1-\frac{2}{3} \right)=6 \cdot \frac{1}{3}=2 \]

Og til slutt kan vi finne summen av de fire første leddene med sumformelen

\[s_{4}=a_{1} \cdot \frac{k^4-1}{k-1}=2 \cdot \frac{\left( \frac{2}{3} \right)^{4}-1}{\left( \frac{2}{3} \right)-1}=2 \cdot \frac{\frac{16}{81}-1}{\frac{2}{3}-1}=2\cdot \frac{-\frac{65}{81}}{-\frac{1}{3}}=2 \cdot \frac{\frac{65}{81}}{\frac{27}{81}}=\frac{130}{27} \]

Summen av de fire første leddene er

\[\underline{\underline{\frac{130}{27}}} \]

Det er ofte best å blande hvilke type oppgaver man gjør dersom du skal forberede deg til en prøve eller eksamen. Her er tre tilfeldige oppgaver i S2.

Oppgave	Fag	År	Oppg
Annuitetslån og serielån Pia	S2	V19	2-4
Aritmetisk rekke med formel	S2	V19	1-4
Sprettball og uendelig rekke	S2	V19	1-5
Aritmetisk rekke med sum	S2	H19	1-2
Lønnsøkning og videreutdanning	S2	H19	2-4
Uendelig geometrisk rekke og desimaltall	S2	H19	1-3
Annuitetslån og serielån	S2	V20	2-4
Aritmetisk sum og uendelig geometrisk rekke	S2	V20	1-3
Geometrisk rekke og sparing	S2	H20	1-3
Sum av aritmetisk rekke	S2	H20	1-2
Virkestoff og halveringstid	S2	H20	2-4
Spareavtale og aksjefond	S2	V21	2-2
Summer av rekker	S2	V21	1-2
Aritmetisk rekke med sumformel	S2	H21	1-3
Camillas aksjefond	S2	H21	2-2
Aritmetisk og geometrisk rekke med betingelser	S2	V22	1-3
Sparing og annuitetslån Camilla	S2	V22	2-3
Virkestoff i tablett	S2	V22	1-4
Sparing og annuitetslån	S2	H22	2-2
Mønster med sirkler i figurer	2P-Y	V23	1-4
Sum av aritmetisk rekke med kode	R2	V23	1-4
Uendelig rekke med virkestoff fra legemiddel	S2	V23	1-4
Annuitetslån	S2	V23	2-1
Hildegunns ukepenger	S2, R2	V23	2-4
Ukjent program del 1 S2	S2	V23	1-4
Aritmetisk mur	S2	E22	1-2
Begrunn at uendelig rekke konvergerer	S2	H22	1-2
Idas jakke	S2	H22	1-5
Summen av repeterende brøker	S2	Ingen	Ingen
Linjestykker og geometrisk vekst	1P, 1T	H23	2-6
Kvadratserie geometrisk rekke	2P	H23	2-7
Aritmetisk rekke	S2, R2	H23	1-2b
Uendelig geometrisk rekke	S2, R2	H23	1-2a
Miriam og Hermods sparing	S2	H23	2-2
Rekursiv sammenheng mellom pentagontall	S2	H23	2-4
Summer av oddetall og programmering	1T	V24	2-4
Ukjent program S2 v24	S2, R2	V24	1-3
Olivias annuitetslån	S2	V24	2-3
Sum av integralrekke	R2	V24	2-6
Uendelig logaritmisk rekke	S2, R2	Ingen	2-2.158
Sumformel, kvotient og geometrisk rekke	R2	H24	1-2
Vurder påstander om rekke, plan og areal	R2	H24	2-2
Aritmetiske og geometriske rekker h24	S2	H24	1-2
Påstand om sum av rekke	S2	H24	2-3a
Oles studielån	S2	H24	2-5
Rekursiv formel og programmering	S2, R2	H24	2-4
Tallfølge med programmering og induksjon	R2	V25	1-3
Noras sparing og lån	S2, R2	V25	2-4
Ukjente programmer S2 v25	S2	V25	1-4
Vis at rekke blir ln 2	S2, R2	V25	2-5
Trekantmønster og programmering 2P-Y H25	2P-Y	H25	1-6
Aritmetisk og geometrisk rekke	R2	H25	1-6
CCl4-konsentrasjon og geometrisk rekke	R2	H25	2-3
Induksjonsbevis for geometrisk rekke	R2	H25	1-8
Gråmønster i likesidet trekant	1T	H25	2-4
Mathias sine lån for å kjøpe bil Mathias sine lån for å kjøpe bil	S2	H25	2-4
S2 H2025 ulike rekker del 1 S2 H2025 ulike rekker del 1	S2	H25	1-2

Summen av ukjent uendelig geometrisk rekke

1-3

Om oppgaveteksten

Oppgavetekst

Løsningsforslag

Alternativ løsning

Relatert

Tilfeldige oppgaver i samme fag

Lignende oppgaver sortert etter tema

Rekker