Påstand om sum av rekke
Oppgave
Avgjør om påstanden nedenfor er sann eller usann. Forklar tydelig hvordan du har resonnert.
En uendelig geometriske rekke er gitt ved \(1+\left( \ln x -1 \right) + \left( \ln x -1 \right)^{2}\dots\)
Påstand: Dersom \(x=\frac{1}{e}\) vil summen av rekka være \(\frac{1}{3}\).
Fasit
Påstanden er usann. \(k=-2\) og rekka konvergerer ikke.
Løsningsforslag
Jeg vet at summen av en uendelig geometrisk rekke er gitt ved
\[s=\frac{a_{1}}{1-k}
\]
dersom \(-1
Hvis vi vi lar \(x=\frac{1}{e}\) så vil rekka bli
\[1+ \left( \ln \frac{1}{e}-1 \right) + \left( \ln \frac{1}{e}-1 \right)^{2} + \dots
\]
La oss se hva \(\ln \frac{1}{e}-1\) blir
\[\ln \frac{1}{e}-1=\ln 1 - \ln e - 1=0-1-1=-2
\]
Det første leddet i rekka er \(a_{1}=1\) og det andre leddet er \(a_{2}=-2\), det vil si at
\[k=\frac{-2}{1}=-2
\]
\(k\) ligger ikke i intervallet \(\langle-1,1\rangle\), og dermed konvergerer ikke rekka.
Påstanden er usann, rekka konvergerer ikke når \(\boldsymbol{x=\frac{1}{e}}\).