Cauchys middelverdisetning

a) \(\underline{\underline{c = 2}}\)

b) Se program i løsningsforslaget.

c) \(c\) er alltid midtpunktet \(\frac{a+b}{2}\).

d) Annes påstand er riktig for alle andregradsfunksjoner (med \(p \neq 0\)).

a

Vi skal finne \(c \in \langle 1, 3 \rangle\) slik at \(f'(c) = \dfrac{f(3) - f(1)}{3 - 1}\).

Vi beregner først høyresiden:

Siden \(f'(x) = 2x + 3\), løser vi likningen \(f'(c) = 7\):

I GeoGebra CAS:

CAS gir \(c = 2\). Vi sjekker at \(c = 2 \in \langle 1, 3 \rangle\) ✓.

\(\underline{\underline{c = 2}}\)

b

Programmet beregner den midlere stigningen \(m = \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}\) og leter så trinnvis fra \(x = a\) til \(f'(x) \approx m\):

def f(x):
    return x**2 + 3*x + 1

a = 1
b = 3
m = (f(b) - f(a)) / (b - a)     # midlere stigning

h = 0.0001
c = a
while (f(c + h) - f(c)) / h < m:   # finn c der f'(c) ≈ m
    c = c + h

print("c =", round(c, 4))

Programmet skriver ut c = 2.0.

c

Ved å kjøre programmet for ulike verdier av \(a\) og \(b\) (for eksempel \(a = 0, b = 4\) gir \(c = 2\); \(a = -2, b = 2\) gir \(c = 0\); \(a = 1, b = 5\) gir \(c = 3\)) ser vi at \(c\) alltid er lik midtpunktet:

d

Vi viser dette analytisk for en generell andregradsfunksjon \(h(x) = px^2 + qx + r\) med \(p \neq 0\).

Midlere stigning:

(CAS bekrefter: se linje 4 i skjermbildet over — uttrykket forenkles til \(ap + pb + q\).)

Setter \(h'(c)\) lik midlere stigning:

(CAS bekrefter i linje 5: \(c = \frac{1}{2}a + \frac{1}{2}b\).)

Siden \(c = \dfrac{a+b}{2}\) gjelder for alle andregradsfunksjoner med \(p \neq 0\), og spesielt for \(a = 2\), \(b = 8\):

Annes påstand er \(\underline{\underline{\text{riktig}}}\).