Vektorfunksjoner og smygplan
En kurve \(C\) er grafen til vektorfunksjonen \(\vec{r}_1\) gitt ved
- Bestem koordinatene til eventuelle punkter på \(C\) der tangenten er parallell med \(xy\)-planet.
- Vis at \(\vec{r}_1'(t) \perp \vec{r}_1''(t)\) for alle \(t\).
La \(\vec{r}\) være posisjonsvektoren til en romkurve, der \(\vec{r}'(t)\) og \(\vec{r}''(t)\) ikke er parallelle for noen verdier av \(t\). Da kan vi til hvert punkt på kurven lage et plan som tangerer kurven i punktet, og som inneholder \(\vec{r}'(t)\) og \(\vec{r}''(t)\). Dette planet kaller vi for kurvens smygplan i punktet.
- Vis at vinkelen mellom smygplanet og \(y\)-aksen alltid er den samme for kurven \(C\). Bestem denne vinkelen.
En annen kurve er grafen til vektorfunksjonen \(\vec{r}_2\) gitt ved
- Undersøk smygplanet til denne kurven for ulike verdier av \(t\). Gi en tolkning av det du har funnet i undersøkelsene dine.
a) Punkt \((0, \pi, -1)\)
b) Se løsningsforslag — prikkproduktet er identisk lik 0.
c) Vinkelen er alltid \(45°\).
d) Normalretningen er alltid \((-2, 0, 1)\) — smygplanet har konstant orientering. Kurven ligger i planet \(z = 2x + 1\).
a
Tangenten til kurven \(C\) er gitt ved \(\vec{r}_1'(t)\). Vi deriverer:
Tangenten er parallell med \(xy\)-planet når \(z\)-komponenten er null:
Punktet på kurven ved \(t = \pi\):
Punktet \((0,\ \pi,\ -1)\) er det eneste punktet der tangenten er parallell med \(xy\)-planet.
b
Vi deriverer \(\vec{r}_1'(t)\) én gang til:
Prikkproduktet er:
GeoGebra CAS bekrefter:
Siden prikkproduktet er null for alle \(t\), er \(\vec{r}_1'(t) \perp \vec{r}_1''(t)\) for alle \(t\). \(\square\)
c
Smygplanet i et punkt inneholder \(\vec{r}_1'(t)\) og \(\vec{r}_1''(t)\). Normalvektoren til smygplanet er:
Vi regner ut kryssprodukt komponent for komponent:
Lengden av \(\vec{n}\):
Vinkelen \(\theta\) mellom normalvektoren \(\vec{n}\) og \(y\)-aksen \(\hat{j} = (0, 1, 0)\):
GeoGebra CAS bekrefter \(|\vec{n}|^2 = 2\) og \(\theta = \frac{\pi}{4}\):
Vinkelen mellom smygplanet og \(y\)-aksen er \(90° - \theta = 90° - 45° = 45°\).
Siden \(\cos\theta = \frac{1}{\sqrt{2}}\) er uavhengig av \(t\), er vinkelen mellom smygplanet og \(y\)-aksen alltid \(\underline{\underline{45°}}\), uavhengig av hvilket punkt på kurven vi ser på. \(\square\)
d
Vi finner \(\vec{r}_2'(t)\) og \(\vec{r}_2''(t)\):
Normalvektoren til smygplanet:
Tolkning: Normalvektoren \(\vec{n}_2 = \sin t \cdot (-2, 0, 1)\) peker alltid i retningen \((-2, 0, 1)\) (eller motsatt retning) uavhengig av \(t\) (der \(\sin t \neq 0\)). Det betyr at smygplanet har den samme orienteringen for alle \(t\) — det er alltid parallelt med planet med normal \((-2, 0, 1)\).
En naturlig forklaring er at kurven faktisk ligger i et fast plan: \(z\)-komponenten er \(2\sin t + 1 = 2x + 1\), altså \(z = 2x + 1\). Kurven \(C_2\) ligger i sin helhet i planet \(z = 2x + 1\), og smygplanet er det samme for alle punkter.
Merk at der \(\sin t = 0\) (dvs. \(t = 0, \pi, 2\pi, \ldots\)) er \(\vec{r}_2'\) og \(\vec{r}_2''\) parallelle, og smygplanet er ikke definert i disse punktene.
a) (2 poeng) Det gis 1 poeng for rett strategi og i tillegg 1 poeng for å gjennomføre strategien og få rett svar.
b) (2 poeng) Det gis full uttelling dersom kandidaten løser oppgaven rett og at løsningen blir kommunisert på en tilstrekkelig måte.
c) (2 poeng) Det kan gis 1 poeng dersom kandidaten finner \(\vec{n} = \vec{r}'(t) \times \vec{r}''(t)\) og en retningsvektor for \(y\)-aksen, men ikke klarer å vise at cosinus til vinkelen er konstant (ved å bruke at \(\sin^2 t + \cos^2 t = 1\)).
d) (2 poeng) For å få full uttelling må kandidaten vise at smygplanet har samme retning for alle verdier av \(t\). En fremragende løsning kommenterer at hele kurven ligger i ett plan.