Vinkler og vinkelrette vektorer
Gitt tre punkt \(A(1, 3)\), \(B(4, 0)\) og \(C(9, 4)\).
Oppgave
- Bruk vektorregning til å avgjøre om \(\angle CBA\) er mindre enn, lik eller større enn \(90°\).
Et punkt \(P\) ligger på linjen som går gjennom \(B\) og \(C\).
Oppgave
- Bruk vektorregning til å bestemme koordinatene til punktet \(P\) slik at \(\overrightarrow{AB} \perp \overrightarrow{AP}\).
Fasit
a) \(\angle CBA > 90°\)
b) \(P(-26, -24)\)
Løsningsforslag
Dette løsningsforslaget er laget av KI og er ikke kvalitetssikret.
a
Vi finner vektorene fra \(B\) til henholdsvis \(A\) og \(C\):
\[\overrightarrow{BA} = A - B = (1-4,\ 3-0) = (-3, 3)
\]
\[\overrightarrow{BC} = C - B = (9-4,\ 4-0) = (5, 4)
\]
Vi beregner skalarproduktet:
\[\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = (-3) \cdot 5 + 3 \cdot 4 = -15 + 12 = -3
\]
Siden \(\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} < 0\), er vinkelen mellom vektorene større enn \(90°\).
\(\angle CBA > 90°\)
b
Vi parametriserer linjen gjennom \(B\) og \(C\):
\[P = B + s \cdot \overrightarrow{BC} = (4 + 5s,\ 4s), \quad s \in \mathbb{R}
\]
Vektoren fra \(A\) til \(P\) blir:
\[\overrightarrow{AP} = P - A = (4 + 5s - 1,\ 4s - 3) = (3 + 5s,\ 4s - 3)
\]
Vektoren \(\overrightarrow{AB}\):
\[\overrightarrow{AB} = B - A = (4-1,\ 0-3) = (3, -3)
\]
Kravet \(\overrightarrow{AB} \perp \overrightarrow{AP}\) betyr at skalarproduktet er null:
\[\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AP} = 0
\]
\[3(3 + 5s) + (-3)(4s - 3) = 0
\]
\[9 + 15s - 12s + 9 = 0
\]
\[3s + 18 = 0
\]
\[s = -6
\]
Vi setter \(s = -6\) inn i parametriseringen:
\[P = (4 + 5 \cdot (-6),\ 4 \cdot (-6)) = (4 - 30,\ -24) = (-26, -24)
\]
\(P = \mathbf{(-26, -24)}\)