Parallelle plan og kule

a) \(\underline{\underline{\beta\colon x - y - 2z + 3 = 0}}\)
b) \(\underline{\underline{Q = \left(\dfrac{4}{3},\, -\dfrac{1}{3},\, \dfrac{7}{3}\right)}}\)

Vi bestemmer først en likning for planet \(\alpha\) ved å finne normalvektoren.

Normalvektor til \(\alpha\)

Vi bruker GeoGebra CAS til å beregne \(\vec{AB}\), \(\vec{AC}\) og kryssprodukt:

A := (1, 0, 3)
B := (0, 1, 2)
C := (2, 3, 2)
AB := B - A          → AB := (-1, 1, -1)
AC := C - A          → AC := (1, 3, -1)
n := AB ⊗ AC         → n := (2, -2, -4)

Normalvektoren er \(\vec{n} = (2, -2, -4)\), som vi forenkler til \(\vec{n} = (1, -1, -2)\).

Likning for \(\alpha\)

Planet \(\alpha\) har likning \(x - y - 2z + d = 0\). Vi setter inn \(A(1, 0, 3)\):

a

Planet \(\beta\) er parallelt med \(\alpha\), så det har samme normalvektor og likning på formen \(x - y - 2z + d = 0\).

Vi setter inn \(P(2, -5, 5)\) i GeoGebra CAS:

beta_d := Løs(2 - (-5) - 2*5 + d = 0, d)    → {d = 3}

b

Kulen tangerer \(\alpha\) i \(A\) og \(\beta\) i \(Q\). Siden begge plan er parallelle og kulen tangerer begge, ligger sentrum midt mellom tangentpunktene på linjen gjennom \(A\) med retning \(\vec{n} = (1, -1, -2)\).

Linjen gjennom \(A\) med retning \(\vec{n}\):

Finn \(Q\) på \(\beta\):

Vi setter linjeuttrykkene inn i likningen for \(\beta\) i GeoGebra CAS:

Q_t := Løs((1 + t) - (-t) - 2*(3 - 2*t) + 3 = 0, t)    → {t = 1/3}
Q := (1 + 1/3, -1/3, 3 - 2/3)                           → Q := (4/3, -1/3, 7/3)

Vi kan verifisere at \(Q\) ligger på \(\beta\): \(\frac{4}{3} - \left(-\frac{1}{3}\right) - 2 \cdot \frac{7}{3} + 3 = \frac{4}{3} + \frac{1}{3} - \frac{14}{3} + \frac{9}{3} = \frac{0}{3} = 0\). ✓