Ikke kvalitetssikret

Denne oppgaven er lest inn med KI og er ikke kontrollert enda. Det kan forekomme feil.

Oppgaven er hentet fra eksamen R2 V26 del 1 oppgave 7.

Plan og tangerende kuleflate R2 V26

Et plan \(\alpha\) er gitt ved likningen

\[2x - 5y + 4z = -4 \]

Punktene \(A(1, 2, 1)\), \(B(2, 0, -2)\) og \(C(-1, 2, 2)\) ligger i planet.

Oppgave

Avgjør om punktet \(D(3, 1, -1)\) ligger i planet \(\alpha\).
Bruk kryssprodukt til å vise at \([2, -5, 4]\) er en normalvektor til planet.

En kule tangerer planet \(\alpha\) i et punkt \(P\).

Kuleflaten er gitt ved likningen

\[x^2 + y^2 + z^2 - 18y + 2z + k = 0 \]

Oppgave

Vis at punktet \((0, 9, -1)\) er sentrum i kulen.
Bestem en parameterframstilling for linjen som går gjennom sentrum i kulen og punktet \(P\).
Bestem konstanten \(k\) i likningen for kuleflaten.

Fasit

a) \(D\) ligger ikke i planet \(\alpha\).
b) \(\vec{AB} \times \vec{AC} = [-2, 5, -4] = -1 \cdot [2, -5, 4]\), altså parallell med \([2,-5,4]\).
c) Kvadratkomplettering gir sentrum \(\underline{\underline{S(0, 9, -1)}}\).
d) Parameterframstilling: \(\underline{\underline{(x, y, z) = (2t,\; 9 - 5t,\; -1 + 4t)}}\)
e) \(\underline{\underline{k = 37}}\)

Løsningsforslag

Dette løsningsforslaget er laget av KI og er ikke kvalitetssikret.

a

Vi setter koordinatene til \(D(3, 1, -1)\) inn i venstresiden av planlikningen \(2x - 5y + 4z = -4\):

\[2 \cdot 3 - 5 \cdot 1 + 4 \cdot (-1) = 6 - 5 - 4 = -3 \]

Siden \(-3 \neq -4\) tilfredsstiller ikke \(D\) planlikningen.

\(D\) ligger ikke i planet \(\alpha\).

b

Vi finner vektorene \(\vec{AB}\) og \(\vec{AC}\):

\[\vec{AB} = B - A = (2-1,\; 0-2,\; -2-1) = [1, -2, -3] \]

\[\vec{AC} = C - A = (-1-1,\; 2-2,\; 2-1) = [-2, 0, 1] \]

Vi beregner kryssproduktet \(\vec{AB} \times \vec{AC}\):

\[\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & -2 & -3 \\ -2 & 0 & 1 \end{vmatrix} \]

\[= \mathbf{i}\bigl((-2) \cdot 1 - (-3) \cdot 0\bigr) - \mathbf{j}\bigl(1 \cdot 1 - (-3) \cdot (-2)\bigr) + \mathbf{k}\bigl(1 \cdot 0 - (-2) \cdot (-2)\bigr) \]

\[= \mathbf{i}(-2 - 0) - \mathbf{j}(1 - 6) + \mathbf{k}(0 - 4) \]

\[= [-2, 5, -4] \]

Vi ser at \([-2, 5, -4] = -1 \cdot [2, -5, 4]\).

Siden \([-2, 5, -4]\) er parallell med \([2, -5, 4]\), og kryssproduktet \(\vec{AB} \times \vec{AC}\) er normalvektor til planet, er \([2, -5, 4]\) en normalvektor til planet \(\alpha\).

c

Vi skal vise at \((0, 9, -1)\) er sentrum ved å skrive kuleflatelikningen på standardform. Vi kvadratkompleterer leddene med \(y\) og \(z\):

\[x^2 + y^2 - 18y + z^2 + 2z + k = 0 \]

\[x^2 + (y^2 - 18y + 81 - 81) + (z^2 + 2z + 1 - 1) + k = 0 \]

\[x^2 + (y - 9)^2 - 81 + (z + 1)^2 - 1 + k = 0 \]

\[x^2 + (y - 9)^2 + (z + 1)^2 = 82 - k \]

Dette er likningen for en kule med sentrum \(\underline{\underline{S(0, 9, -1)}}\) og \(r^2 = 82 - k\).

d

Kulesentrumet er \(S(0, 9, -1)\). Siden kulen tangerer planet \(\alpha\) i punktet \(P\), ligger linjen \(SP\) vinkelrett på planet. Normalvektoren til \(\alpha\) er \(\vec{n} = [2, -5, 4]\), så linjen \(SP\) er parallell med \(\vec{n}\).

En parameterframstilling for linjen gjennom \(S\) med retningsvektor \([2, -5, 4]\) er:

\[\underline{\underline{(x, y, z) = (0 + 2t,\; 9 - 5t,\; -1 + 4t)}} \qquad t \in \mathbb{R} \]

e

Siden kulen tangerer planet \(\alpha\), er radius lik avstanden fra sentrum \(S(0, 9, -1)\) til planet \(\alpha\): \(2x - 5y + 4z + 4 = 0\).

Vi bruker avstandsformelen for punkt til plan:

\[r = \frac{|2 \cdot 0 - 5 \cdot 9 + 4 \cdot (-1) + 4|}{\sqrt{2^2 + (-5)^2 + 4^2}} = \frac{|0 - 45 - 4 + 4|}{\sqrt{4 + 25 + 16}} = \frac{|-45|}{\sqrt{45}} = \frac{45}{\sqrt{45}} = \sqrt{45} \]

Altså er \(r^2 = 45\).

Fra standardformen i c) har vi \(r^2 = 82 - k\), så:

\[82 - k = 45 \implies k = 82 - 45 = 37 \]

\[\underline{\underline{k = 37}} \]

Relatert

Tilfeldige oppgaver i samme fag

Det er ofte best å blande hvilke type oppgaver man gjør dersom du skal forberede deg til en prøve eller eksamen. Her er tre tilfeldige oppgaver i R2.

Lignende oppgaver sortert etter tema

Vektorer

Oppgave	Fag	År	Oppg
Avstand fra punkt til linje og graf	R1	V23	2-6
Parallellogram og vektorer	R1	V23	2-2
Vinkler og vinkelrette vektorer	R1	V23	1-3
Banefart til 3D-printer	R2	V23	2-3
Parallelle plan og kule	R2	V23	2-2
Pyramide med fire punkter i rommet	R2	V23	1-3
Ishockeypuck med vektorfunksjon	R1	H23	2-5
Vektorer til å bestemme sidekanter og vinkler i trekant	R1	H23	1-3
Areal av sideflaten i avkortet pyramide	R2	H23	1-6
Plan, normalvektor og avstand til punkt	R2	H23	1-4
Vektorfunksjoner og smygplan	R2	H23	2-5
To biler på kryss og motorvei	R1	V24	2-3
Tre punkter på linje og rettvinklet trekant	R1	V24	1-4
Fotball hjørnespark og vektorer	R2	V24	2-1
Kuleflate og plan	R2	V24	2-5
Trekant og plan i rommet	R2	V24	1-4
Koordinatvektorer, lengde og ortogonalitet	R1	H24	1-5
Posisjonsvektorer for småfugler og rovfugl	R1	H24	2-6
Ball i bevegelse med posisjonsvektor	R2	H24	2-1
Telt med vektorer i rommet	R2	H24	1-3
Vurder påstander om rekke, plan og areal	R2	H24	2-2
Bil på spiralvei i parkeringshus	R2	V25	2-1
Bordplate som trekant i 3D	R2	V25	1-5
Fiskebåt og vektorbevegelse	R1	V25	2-4
Vektorer og basketball	R1	V25	1-6
Kuleflate og tangentplan	R2	H25	1-7
Miniubåt, fart og kollisjon med fiskestim	R2	H25	2-1
Koordinater, linje og ortogonalitet	R1	H25	1-4
Parameterframstilling og møtepunkt	R1	H25	2-4
Vektorer, lengde og ortogonalitet	R1	H25	2-5
Bevis at ortogonale vektorer oppfyller Pytagoras R2 V26	R2	V26	1-8

Geometri

Oppgave	Fag	År	Oppg
Avstand fra punkt til linje og graf	R1	V23	2-6
Likebeinte og formlike trekanter	2P	V23	1-2
Parallellogram og vektorer	R1	V23	2-2
Vinkler og vinkelrette vektorer	R1	V23	1-3
Parallelle plan og kule	R2	V23	2-2
Pyramide med fire punkter i rommet	R2	V23	1-3
Sekskantmønster og vinkelsum	1P-Y IM	V23	1-4
Solcellepanel areal og kostnad	1P-Y EL	V23	2-3
Areal av firkant ved hjelp av trigonometri	1T	V23	2-3
Areal av område begrenset av sirkler	GRUBLE	Ingen	Ingen
Areal av sirkel og kvadrat som skjærer hverandre	1T, R1, R2	Ingen	Ingen
Kasse uten lokk	S1, R1	H23	2-5
Areal av sideflaten i avkortet pyramide	R2	H23	1-6
Ellipse og Ramanujans formel	1P	H23	2-7
Plan, normalvektor og avstand til punkt	R2	H23	1-4
Rektangel innskrevet i trekant	1P	H23	2-5
Seilbåt med to seil og formlikhet	1P-Y NA	H23	2-1
Takstol til garasje	1P-Y BA	H23	2-2
Trekant med to løsninger	2P	H23	2-5
Bindingsverk og kappliste for vegg	1P-Y BA	V24	2-1
Blomsterkrukker og sylindervolum Sander	1P-Y NA	V24	2-2
Formlike rammer og diagonal	1P-Y FD, 1P-Y DT	V24	1-4
Garasjeloft og trigonometri	1P-Y BA	V24	1-5
Husvegg tak og solcellepaneler	1P-Y BA	V24	2-2
Logoer med parallellogrammer og symmetri	1P-Y IM	V24	1-4
Sylinderformet lampe med hull	1P-Y FD, 1P-Y DT	V24	2-1
Terrassestolper i betong sylinder	1P-Y TP	V24	2-2
Kartmålestokk Oslo	2P	V24	1-3
Klatrevegg rettavkortet kjegle	2P	V24	2-5
Pyramide i halvkule – størst mulig volum	S1, R1	V24	2-8
Tre punkter på linje og rettvinklet trekant	R1	V24	1-4
Kuleflate og plan	R2	V24	2-5
Trekant og plan i rommet	R2	V24	1-4
Bindingsverk og kappliste for hytte	1P-Y BA	H24	1-5
Blomsterpotte og likebeint trekant	1P-Y FD, 1P-Y TP, 1P-Y DT	H24	1-5
Lykkehjul med sektorer og trekanter	1P-Y IM	H24	1-4
Symmetri i logo	1P-Y IM	H24	1-5
Vimpler i to størrelser	1P-Y FD, 1P-Y DT	H24	1-4
Formlike trekanter og areal	2P	H24	1-3
Volum og areal for lesehule	2P	H24	2-8
Bordplate som trekant i 3D	R2	V25	1-5
Areal og omkrets av halvsirkel og trekant	2P	V25	1-4
Formlike trekanter over elv	2P	V25	2-3
Vektorer og basketball	R1	V25	1-6
Konusformet aksling og konisitet	1P-Y TP	V25	1-5
Nomogram for omdreiningstall og boring	1P-Y TP	V25	2-1
Parkbenk og svinn av terrassebord	1P-Y BA	V25	1-4
Rom med skråtak og volum	1P-Y IM	V25	1-4
Sylinderformede sittepuffer	1P-Y FD, 1P-Y DT	V25	2-2
Takstol og trekant ABC	1P-Y BA	V25	2-1
Tannhjul og skyvelære	1P-Y TP	V25	1-4
Tolvkant innskrevet i sirkel	1T	V25	2-3
Kuleflate og tangentplan	R2	H25	1-7
Miniubåt, fart og kollisjon med fiskestim	R2	H25	2-1
Volum av omdreiningslegeme – kopp	R2	H25	1-2
Koordinater, linje og ortogonalitet	R1	H25	1-4
Parameterframstilling og møtepunkt	R1	H25	2-4
Grus på sti og kjeglehaug	2P	H25	2-6
Modell av Eiffeltårnet	2P	H25	1-3
Trekant i sirkel	2P	H25	1-5
App-ikon med sirkel og trekant	1P-Y IM	H25	1-5
Areal av firkant med trigonometri	1T	H25	2-3
Blomsterbed med halvsirkel	1P	H25	2-7
Breddegrader og jordomkrets	1P	H25	2-6
Naomi sine søppelbøtter	1P-Y TP	H25	2-2
Pyramide med proporsjonal høyde	1P	H25	1-4
Rombe-duk og Pytagoras	1P-Y FD, 1P-Y DT	H25	1-4
Solcellepaneler og trigonometri	1P-Y EL	H25	2-1
Størst mulig rektangel under kurve	1T	H25	2-5
Tangent til parabel og lagerhall	1T	H25	2-6
Terrasse med Pytagoras	1P-Y BA	H25	1-5