Uendelig logaritmisk rekke

I en uendelig geometrisk følge \(a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots , a_{n}\) er både \(a_{1}\) og kvotienten \(k\) positive.

Vi danner en ny følge \(b_{n}\) ved å la \(b_{n}=\ln a_{n}\).

Oppgave

Vis at følgen \(b_{1},b_{2},b_{3},\dots\) er aritmetisk. Hva er differansen i følgen?
Gjelder det samme dersom \(a_{1}\) eller \(k\) ikke er positive?

Vi ser nå kun på de følgene \(a_{1},a_{2},a_{3},\dots\) som er slik at

\[\sum_{i=1}^\infty a_{i} =1 \]

Oppgave

Bestem \(k\) uttrykt ved \(n\) når summen \(b_{1}+b_{2}+b_{3}+\dots\) skal være størst mulig.

Fasit

a) \(\ln k\)
b) Nei, da ville mange av leddene vært negative og \(\ln x\) er kun definert for \(x>0\).
c) \(k=\frac{n-1}{n+1}\)

Løsningsforslag oppgave c

Vi vet at \(0 for at den uendelige rekka \(a_{1}+a_{2}+a_{3}+\dots\) skal gi en endelig sum, og leddene i følgen \(b_{1},b_{2},\dots\) skal være definert. Tillegg vet jeg at

\[\begin{aligned} s&=1\\ \frac{a_{1}}{1-k} &= 1 \\ a_{1} &=1-k \end{aligned} \]

Hvert ledd i den geometriske rekka er gitt ved

\[a_{i}=a_{1} \cdot k^{i-1} \]

Leddene i den aritmetiske rekka blir altså

\[\begin{aligned} b_{i}&=\ln(a_{1} \cdot k^{i-1})\\ b_{i}&=\ln(a_{1})+ \ln(k^{i-1})\\ b_{i}&=\ln(a_{1})+ (i-1)\ln k \end{aligned} \]

La oss anse summen av rekka som en funksjon av \(k\). Vi kan maksimere denne funksjonen, \(s_{n}(k)\), ved å derivere den og sette lik 0. Vi finner derfor først et uttrykk for summen av rekka \(s_{n}(k)\)

\[\begin{aligned} s_{n}(k) &= \sum_{i=1}^{n}b_{i}\\ s_{n}(k) &= \sum_{i=1}^{n}\left( \ln a_{1} +(i-1)\ln k\right)\\ s_{n}(k) &= \sum_{i=1}^{n} \ln a_{1} + \sum_{i=1}^{n} (i-1)\ln k \\ s_{n}(k) &= n \cdot \ln a_{1} + \ln k \cdot \sum_{i=1}^{n} (i-1) \end{aligned} \]

Vi kjenner igjen \(\sum_{i=1}^{n}(i-1)\) som en aritmetisk rekke med første ledd lik 0 og siste ledd lik \(n-1\), vi kan derfor bruke formelen for sum av aritmetisk rekke. Vi kan også erstatte \(a_{1}\) med \(1-k\).

\[\begin{aligned} s_{n}(k) &= n \cdot \ln a_{1} + \ln k \cdot \frac{0+(n-1)}{2}\cdot n\\ s_{n}(k) &= n \cdot \ln a_{1} + \frac{\ln k}{2} \cdot (n^{2}-n)\\ s_{n}(k) &= n \cdot \ln (1-k) + \frac{\ln k}{2} \cdot (n^{2}-n)\\ \end{aligned} \]

Nå kan vi derivere med hensyn på \(k\)

\[\begin{aligned} s_{n}'(k) &= n \cdot \underset{ Kjerneregel }{ \frac{1}{1-k} \cdot (-1) } + \frac{1}{2} \frac{1}{k}(n^{2}-n)\\ s_{n}'(k) &= -\frac{n}{1-k}+\frac{1}{2k}(n^{2}-n) \end{aligned} \]

Vi setter uttrykket for den deriverte lik null for å finne en minimums- eller maksimumsverdi.

\[-\frac{n}{1-k}+\frac{1}{2k}(n^{2}-n)=0 \]

Vi ganger med fellesnevneren \((1-k)(2k)\) for å forenkle uttrykket

\[\begin{aligned} \frac{-n(1-k)(2k)}{1-k}+\frac{(1-k)(2k)}{2k}(n^{2}-n) &= 0\\ -2nk+(1-k)(n^{2}-n) &= 0\\ -2nk + n^{2}-n -n^{2}k+nk &= 0\\ -2nk -n^{2}k+nk &= -n^{2}+n\\ -2k -nk+k &= -n+1\\ k(-2-n+1) &= -n+1\\ k(-n-1) &= -n+1\\ k &= \frac{-n+1}{-n-1} \\ k &= \frac{n-1}{n+1} \end{aligned} \]

Vi har funnet en verdi for \(k\) som gir et stasjonært punkt for summen \(s_{n}(k)\), men vi vet enda ikke om denne verdien gir et minimum, et maksimum eller et terrassepunkt. Vi gjennomfører en andrederiverttest ved å først dobbeltderivere

\[\begin{aligned} s_{n}''(k)&=\left( -\frac{n}{1-k} \right)'+ \left( \frac{1}{2k} \cdot (n^{2}-n) \right)'\\ s_{n}''(k)&=n\left( \frac{1}{(1-k)^{2}}\cdot(-1) \right) - \left( \frac{1}{2k^{2}} (n^{2}-n) \right) \\ s_{n}''(k)&= -\frac{n}{(1-k)^{2}}- \frac{n^{2}-n}{2k^{2}} \end{aligned} \]

Hvis \(s_{n}''(k)\) er negativ for \(k=\frac{n-1}{n+1}\) så er \(s_{n}(k)\) konkav, og vår verdi for \(k\) må være et toppunkt som gir en maksimumsverdi for summen. Vi setter inn for \(k\) og analyserer.

\[\begin{aligned} -\frac{n}{\left( 1-\frac{n-1}{n+1} \right)^{2}} - \frac{n^{2}-n}{2\left( \frac{n-1}{n+1} \right)^{2}}\\ \frac{-n}{\left( 1-\frac{n-1}{n+1} \right)^{2}} + \frac{-(n^{2}-n)}{2\left( \frac{n-1}{n+1} \right)^{2}}\\ \end{aligned} \]

Det første leddet må være negativt siden \(n\) er et positivt heltall. Det gjør at telleren i det første leddet er negativ, samtidig som nevneren alltid vil være positiv siden uttrykket i nevneren skal kvadreres.

Det andre leddet vil alltid være enten 0 (når \(n=1\)) eller negativt. Telleren i det andre leddet er 0 når \(n=1\) og negativt så lenge \(n\geq 1\) siden \(n^{2}\geq n\). Nevneren i det andre leddet må alltid være positiv på grunn av kvadreringen.

Vi har altså enten to negative ledd, eller ett negativt ledd og et null-ledd, og summen av disse må være negativ. \(s_{n}(k)\) er derfor konkav og \(k=\frac{n-1}{(n+1)}\) må gi en maksimumsverdi.

Vi har vist at

\[\underline{\underline{k=\frac{n-1}{n+1}}} \]

maksimerer summen av

\[\sum_{i=1}^{n}b_{i}=\sum_{i=1}^{n} \ln a_{i} \]

når summen \(\sum_{i=1}^{\infty}a_{i}=1\).

Det er ofte best å blande hvilke type oppgaver man gjør dersom du skal forberede deg til en prøve eller eksamen. Her er tre tilfeldige oppgaver i S2, R2.

Oppgave	Fag	År	Oppg
Annuitetslån og serielån Pia	S2	V19	2-4
Aritmetisk rekke med formel	S2	V19	1-4
Sprettball og uendelig rekke	S2	V19	1-5
Aritmetisk rekke med sum	S2	H19	1-2
Lønnsøkning og videreutdanning	S2	H19	2-4
Uendelig geometrisk rekke og desimaltall	S2	H19	1-3
Annuitetslån og serielån	S2	V20	2-4
Aritmetisk sum og uendelig geometrisk rekke	S2	V20	1-3
Geometrisk rekke og sparing	S2	H20	1-3
Sum av aritmetisk rekke	S2	H20	1-2
Virkestoff og halveringstid	S2	H20	2-4
Spareavtale og aksjefond	S2	V21	2-2
Summer av rekker	S2	V21	1-2
Aritmetisk rekke med sumformel	S2	H21	1-3
Camillas aksjefond	S2	H21	2-2
Aritmetisk og geometrisk rekke med betingelser	S2	V22	1-3
Sparing og annuitetslån Camilla	S2	V22	2-3
Virkestoff i tablett	S2	V22	1-4
Sparing og annuitetslån	S2	H22	2-2
Mønster med sirkler i figurer	2P-Y	V23	1-4
Sum av aritmetisk rekke med kode	R2	V23	1-4
Uendelig rekke med virkestoff fra legemiddel	S2	V23	1-4
Annuitetslån	S2	V23	2-1
Hildegunns ukepenger	S2, R2	V23	2-4
Ukjent program del 1 S2	S2	V23	1-4
Aritmetisk mur	S2	E22	1-2
Begrunn at uendelig rekke konvergerer	S2	H22	1-2
Idas jakke	S2	H22	1-5
Summen av repeterende brøker	S2	Ingen	Ingen
Linjestykker og geometrisk vekst	1P, 1T	H23	2-6
Kvadratserie geometrisk rekke	2P	H23	2-7
Summen av ukjent uendelig geometrisk rekke	S2	E22	1-3
Aritmetisk rekke	S2, R2	H23	1-2b
Uendelig geometrisk rekke	S2, R2	H23	1-2a
Miriam og Hermods sparing	S2	H23	2-2
Rekursiv sammenheng mellom pentagontall	S2	H23	2-4
Summer av oddetall og programmering	1T	V24	2-4
Ukjent program S2 v24	S2, R2	V24	1-3
Olivias annuitetslån	S2	V24	2-3
Sum av integralrekke	R2	V24	2-6
Sumformel, kvotient og geometrisk rekke	R2	H24	1-2
Vurder påstander om rekke, plan og areal	R2	H24	2-2
Aritmetiske og geometriske rekker h24	S2	H24	1-2
Påstand om sum av rekke	S2	H24	2-3a
Oles studielån	S2	H24	2-5
Rekursiv formel og programmering	S2, R2	H24	2-4
Tallfølge med programmering og induksjon	R2	V25	1-3
Noras sparing og lån	S2, R2	V25	2-4
Ukjente programmer S2 v25	S2	V25	1-4
Vis at rekke blir ln 2	S2, R2	V25	2-5
Trekantmønster og programmering 2P-Y H25	2P-Y	H25	1-6
Aritmetisk og geometrisk rekke	R2	H25	1-6
CCl4-konsentrasjon og geometrisk rekke	R2	H25	2-3
Induksjonsbevis for geometrisk rekke	R2	H25	1-8
Gråmønster i likesidet trekant	1T	H25	2-4
Mathias sine lån for å kjøpe bil Mathias sine lån for å kjøpe bil	S2	H25	2-4
S2 H2025 ulike rekker del 1 S2 H2025 ulike rekker del 1	S2	H25	1-2

Oppgave	Fag	År	Oppg
Sprettball og uendelig rekke	S2	V19	1-5
Uendelig geometrisk rekke og desimaltall	S2	H19	1-3
Aritmetisk sum og uendelig geometrisk rekke	S2	V20	1-3
Geometrisk rekke og sparing	S2	H20	1-3
Virkestoff og halveringstid	S2	H20	2-4
Summer av rekker	S2	V21	1-2
Virkestoff i tablett	S2	V22	1-4
Uendelig rekke med virkestoff fra legemiddel	S2	V23	1-4
Uendelig geometrisk rekke	S2, R2	H23	1-2a
Sum av integralrekke	R2	V24	2-6
Sumformel, kvotient og geometrisk rekke	R2	H24	1-2
Aritmetiske og geometriske rekker h24	S2	H24	1-2
Påstand om sum av rekke	S2	H24	2-3a
Vis at rekke blir ln 2	S2, R2	V25	2-5
Aritmetisk og geometrisk rekke	R2	H25	1-6
CCl4-konsentrasjon og geometrisk rekke	R2	H25	2-3
S2 H2025 ulike rekker del 1 S2 H2025 ulike rekker del 1	S2	H25	1-2
Simulering av antall terningkast for å få samme antall øyne i to kast på rad Simulering av antall terningkast for å få samme antall øyne i to kast på rad	S2	H25	2-6

Uendelig logaritmisk rekke

Relatert

Tilfeldige oppgaver i samme fag

Lignende oppgaver sortert etter tema

Rekker

Uendelig rekke